contrôle du 8 janvier 2016

exercice 1

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
La tangente T à la courbe $C_f$ au point $C\left(0;6\right)$ passe par le point de coordonnées $\left(5;2\right)$.

On note $f\prime$ la dérivée de la fonction fonction f et F une primitive de la fonction fonction f.
À partir du graphique et des renseignements fournis :

1. Déterminer $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(6\right)$

2. Donner le tableau de variations de la fonction F.

3. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f\prime$ et une autre de la primitive F.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

4. Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré.

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exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(2x+3\right){\mathrm{e}}^{-x}$.
La représentation graphique $C_f$ de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
(Unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.)

1. 1. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   2. En écrivant que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{{\mathrm{e}}^x}}+{\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{e}}^x}}$, déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.
      Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$ ?

2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

   1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(-2x-1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   2. Étudier les variations de la fonction f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.
   Tracer la droite T sur le graphique précédent.

4. On cherche une primitive F de la fonction f sur $ℝ$ de la forme $F\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-x}$ avec a et b deux nombres réels.

   1. Montrer que a et b sont solutions du système d'équations suivant : $\{\begin{array}{cc}\hfill -a& =& 2\\ \hfill a-b& =& 3\end{array}$.

   2. Calculer a et b et donner l'expression de $F\left(x\right)$.

5. Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=2$.
   En déduire la valeur arrondie à 0,01 cm² près, de cette aire.

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