contrôle du 27 mai 2016

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.

1. Quelle courbe représente la fonction de densité d'une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne $\mu =300$ et d'écart-type $\sigma =50$ ?

   • La courbe associée à la loi normale de moyenne $\mu =300$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=300$ donc les courbes a et d ne conviennent pas.

   • X suit la loi normale de moyenne $\mu =300$ et d'écart-type $\sigma =50$ d'où $P\left(X\in \left[200;400\right]\right)\approx \mathrm{0,95}$ donc la courbe c ne convient pas.

   Courbe a	Courbe b	Courbe c	Courbe d

2. Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,04}$.
   La probabilité $P\left(X⩽50\right)$ est égale à :

   X suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,04}$ alors $$P\left(X⩽50\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}\times 50}=1-{\mathrm{e}}^{-2}=1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}$$

   a. $1-{\mathrm{e}}^2$

   b. $1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}$

   c. $1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}}$

   d. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-50}}{\mathrm{0,04}}}$

3. La forme exponentielle du nombre complexe $z=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est :

   • Le module du nombre complexe z est : $\left|z\right|=\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$

   • Un argument θ du nombre complexe z est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$. D'où z a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   Ainsi, la forme exponentielle du nombre complexe $z=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

   a. $3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

   b. $2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

   c. $-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

   d. $-3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

4. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln \left(2x+1\right)⩽1$ est l'intervalle :

   $$\begin{array}{rcl}\ln \left(2x+1\right)⩽1& \iff & 0<2x+1⩽\mathrm{e}\\ & \iff & -1<2x⩽\mathrm{e}-1\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{1}{2}}<x⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{e}-1}{2}}\end{array}$$

   a. $\left[-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\mathrm{e}-1}{2}}\right]$

   b. $\left[{\displaystyle \frac{1-\mathrm{e}}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[$

   c. $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\mathrm{e}-1}{2}}\right]$

   d. $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-1}}{2}}\right]$

5. L'équation différentielle $4y″+y=0$ admet pour solution la fonction f définie, pour tout réel x, par :

   Les solutions de l'équation différentielle $4y″+y=0\iff y″+{\displaystyle \frac{1}{4}}y=0$ sont les fonctions f de la forme $f:x\mapsto k\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)+k\prime \sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$

   La réponse a $f\left(x\right)=3\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$ est la seule réponse qui semble convenir.

   PREUVE.

   • méthode 1 :

     En choisissant $k={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $k\prime ={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ on a :$$f\left(x\right)=3\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=3\left(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=3\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$$

   • méthode 2 :

     Montrons que la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=3\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$ est une solution de l'équation différentielle $4y″+y=0$.

     On a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$ et $f″\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$. D'où $$4f″\left(x\right)+f\left(x\right)=-3\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+3\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=0$$

   a. $f\left(x\right)=3\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$

   b. $f\left(x\right)=4\cos \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$

   c. $f\left(x\right)=\cos \left({\displaystyle \frac{x}{4}}\right)+\sin \left({\displaystyle \frac{x}{4}}\right)$

   d. $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\left[\cos \left(2x\right)+\sin \left(2x\right)\right]$

6. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(a\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse a.

   • La tangente en $A\left(-3;0\right)$ à la courbe ${𝒞}_f$ passe par le point de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ d'où $f\prime \left(-3\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}-0}{-\mathrm{0,5}+3}}=\mathrm{0,6}$

   • La tangente en $C\left(4;0\right)$ à la courbe ${𝒞}_f$ passe par le point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{5}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ d'où $f\prime \left(4\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}-0}{\mathrm{2,5}-4}}=-1$

   a. $f\prime \left(-3\right)=0$

   b. $f\prime \left(-3\right)=\mathrm{2,4}$

   c. $f\prime \left(4\right)=-2$

   d. $f\prime \left(4\right)=-1$

7. On note F la primitive de la fonction f telle que $F\left(0\right)=0$ :

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de $f\left(x\right)$

   x	− ∞		$-3$		4		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $F\left(x\right)$

   Sur l'intervalle $\left]-3;4\right[$ la fonction F est strictement croissante donc $F\left(4\right)>F\left(0\right)$ et, comme $F\left(0\right)=0$, on en déduit que $F\left(4\right)>0$

   a. $F\left(-3\right)=F\left(4\right)$

   b. $F\left(1\right)⩾F\left(4\right)$

   c. $F\left(4\right)>0$

   d. $F\left(4\right)<0$

8. On note 𝒜 l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré :

   La fonction f est positive sur l'intervalle $\left]-3;4\right[$ d'où $$𝒜={\displaystyle {\int }_{-3}^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(4\right)-F\left(-3\right)$$

   L'aire 𝒜 peut être encadrée par l'aire de deux polygones

   Soit $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\left(7+\mathrm{3,5}\right)\times 1}{2}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{3,5}\times \mathrm{0,5}}{2}}⩽𝒜⩽{\displaystyle \frac{\left(7+3\right)\times \mathrm{1,5}}{2}}& \iff & \mathrm{6,125}⩽𝒜⩽\mathrm{7,5}\end{array}$$

   a. $𝒜={\displaystyle {\int }_4^{-3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

   b. $6⩽𝒜⩽\mathrm{7,5}$

   c. $13⩽𝒜⩽15$

   d. $𝒜=F\left(-3\right)-F\left(4\right)$

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