contrôles en terminale STI2D

contrôle du 27 mai 2016

Corrigé de l'exercice 2

Une entreprise réalise par moulage des hélices de mini-drones dans un nouveau matériau plastique. La fabrication s'effectue en deux temps :

Phase 1 : injection sous pression de la matière fondue à une température initiale de 240 °C et maintien sous pression de la matière pendant les 3 premières secondes du refroidissement.
Phase 2 : poursuite du refroidissement et éjection de l'hélice.

À l'issue de ces deux étapes le moule est refermé et une nouvelle hélice est introduite.
Pour être utilisable, on estime que le matériau plastique ne doit pas avoir perdu plus de 20 % de sa température initiale lors des 3 premières secondes du refroidissement.
Lors de la fabrication, afin de maîtriser le refroidissement de l'hélice, on étudie la température T à laquelle le moule doit être maintenu. En effet, pour garantir un remplissage homogène du moule, le matériau plastique ne doit pas refroidir trop vite lors de son injection dans le moule.

partie 1

Des séries de mesures ont permis de réaliser trois courbes de refroidissement. Elles représentent l'évolution de la température du matériau plastique (exprimée en degrés Celsius) en fonction du temps (exprimé en secondes), pour trois valeurs différentes de la température du moule, $T_{1}$ , $T_{2}$ et $T_{3}$ .

Les trois températures satisfont-elles aux conditions souhaitées de fabrication d'une hélice ?
Détailler la réponse.
- Pour les trois courbes, la température initiale de 240 °C est respectée.
- Le matériau plastique ne doit pas avoir perdu plus de 20 % de sa température initiale lors des 3 premières secondes du refroidissement. Par conséquent, pendant les 3 premières secondes du refroidissement la température, exprimée en degrés, du matériau plastique doit être supérieure à $240 \times (1 - \frac{20}{100}) = 192$
  Or la droite d’équation $y = 192$ coupe la courbe de $T_{3}$ en un point d’abscisse inférieure à 3, donc elle ne satisfait aux conditions souhaitées.
Les températures $T_{1}$ et $T_{2}$ satisfont aux conditions souhaitées de fabrication d'une hélice.
On estime de plus que le matériau a suffisamment durci et que l'hélice peut être éjectée sans risque de déformation lorsque sa température atteint les 100 degrés.
Parmi les températures qui satisfont aux conditions de fabrication, quelle est la température du moule qui permet de fabriquer le plus d'hélices dans un temps donné ? Expliquer.
La température $T_{2}$ atteint les 100 degrés avant la température $T_{1}$ .
La température $T_{2}$ permet de fabriquer le plus d'hélices dans un temps donné.

partie 2

On décide de maintenir le moule à une température de 80 °C. On s'intéresse à la fonction donnant la température du matériau plastique (exprimée en degrés) en fonction du temps (exprimé en secondes).
On admet que cette fonction est solution de l'équation différentielle $(E) : y' + 0,1 y = 8$ .
Dans cette équation, y désigne une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur $[0; + \infty [$ .

Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
Les solutions de l'équation différentielle $y' + a y = b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $t ⟼ k e^{- a t} + \frac{b}{a}$ , où k est une constante réelle quelconque.
Par conséquent, les solutions sur $[0; + \infty [$ de l'équation différentielle $y' + 0,1 y = 8$ sont les fonctions définies pour tout réel t de l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (t) = k e^{- 0,1 t} + 80$ où k est une constante réelle quelconque.
Déterminer la fonction f définie sur $[0; + \infty [$ , solution particulière de l'équation différentielle (E) satisfaisant la condition initiale de température $f (0) = 240$ .
La condition $f (0) = 240$ équivaut à $k e^{0} + 80 = 240$ d'où $k = 160$
Ainsi, la fonction f est définie sur $[0; + \infty [$ par : $f (t) = 160 e^{- 0,1 t} + 80$ .

partie 3

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (t) = 160 e^{- 0,1 t} + 80$
Cette fonction f donne la température de l'hélice (en degrés) en fonction du temps t (en secondes) lorsque le moule est maintenu à une température de 80 °C.

1. Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction f.
  La dérivée de la fonction f est la fonction $f'$ définie sur $[0; + \infty [$ par : $f' (t) = 160 \times (- 0,1 \times e^{- 0,1 t}) = - 16 e^{- 0,1 t}$
  Comme pour tout réel t on a $e^{- 0,1 t} > 0$ , on en déduit que sur l'intervalle $[0; + \infty [$ : $- 16 e^{- 0,1 t} < 0$ .
  Sur $[0; + \infty [$ , $f' (t) < 0$ donc la fonction f est strictement décroissante.
2. Calculer $\lim_{t \to + \infty} f (t)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte du problème.
  $\lim_{t \to + \infty} e^{- 0,1 t} = 0$ donc $\lim_{t \to + \infty} 160 e^{- 0,1 t} + 80 = 80$ .
  $\lim_{t \to + \infty} f (t) = 80$ . La température de l'hélice va baisser et sera proche de 80 °C à partir d'un certain temps.
1. Résoudre l'équation $f (t) = 100$ et donner une valeur arrondie à $10^{- 1}$ de la ou des solutions éventuelles.
  $\begin{array}{rcl} 160 e^{- 0,1 t} + 80 = 100 & \Leftrightarrow & e^{- 0,1 t} = \frac{20}{160} \\ \Leftrightarrow & - 0,1 t = \ln (0,125) \\ \Leftrightarrow & t = - \frac{\ln (0,125)}{0,1} \approx 20,79 \end{array}$
  Arrondie à $10^{- 1}$ près, la solution de l'équation $f (t) = 100$ est 20,8.
2. Interpréter ce résultat dans le contexte du problème.
  La température de l’hélice sera inférieure à 100 °C après 20,8 secondes environ.
On souhaite de plus que la température moyenne du matériau plastique, durant la première phase de fabrication, c'est-à-dire durant les trois premières secondes, ne soit pas inférieure à 210 °C.
1. Montrer que la fonction F définie pour tout réel t de l'intervalle $[0; + \infty [$ par $F (t) = 80 t - 1600 e^{- 0,1 t}$ est une primitive de la fonction f.
  Une primitive F de la fonction f sur $[0; + \infty [$ est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $[0; + \infty [$ par : $\begin{matrix} F (t) & = & 160 \times (- 0,1 e^{- 0,1 t}) + 80 t \\ = & - 1600 e^{- 0,1 t} + 80 t \end{matrix}$
  Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $[0; + \infty [$ par $F (t) = 80 t - 1600 e^{- 0,1 t}$ .
2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[0; 3]$ .
  On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle $[a; b]$ est : $\frac{1}{b - a} \times \int_{a}^{b} f (t) d t$ .
  La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[0; 3]$ est le réel $\begin{array}{rcl} m = \frac{1}{3 - 0} \times \int_{0}^{3} f (t) d t & = & \frac{1}{3} \times (F (3) - F (0)) \\ = & \frac{1}{3} \times (80 \times 3 - 1600 e^{- 0,3} - (- 1600 e^{0})) \\ = & \frac{1840 - 1600 e^{- 0,3}}{3} \end{array}$
  La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[0; 3]$ est $m = \frac{1840 - 1600 e^{- 0,3}}{3}$ .
3. La fonction f satisfait-elle la contrainte sur la température moyenne ?
  $\frac{1840 - 1600 e^{- 0,3}}{3} \approx 218,2$
  Sur l'intervalle $[0; 3]$ la valeur moyenne de la fonction f est d'environ 218 °C. Par conséquent, la fonction f satisfait la contrainte d'une température moyenne durant les trois premières secondes, supérieure à 210 °C.

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