contrôles en terminale STI2D

contrôle du 25 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :
1. $(e^{- x} + 1) \times (e^{x} - 2) = 0$ .
  Pour tout réel x, $e^{x} > 0$ donc pour tout réel x, $e^{- x} + 1 > 1$ . Par conséquent, $\begin{array}{rcl} (e^{- x} + 1) \times (e^{x} - 2) = 0 & \Leftrightarrow & e^{x} - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & e^{x} = 2 \\ \Leftrightarrow & x = \ln 2 \end{array}$
  L'équation $(e^{- x} + 1) \times (e^{x} - 2) = 0$ a pour unique solution $x = \ln 2$ .
2. $e^{x} \times e^{- 2} = {(e^{x})}^{3}$ .
  Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} e^{x} \times e^{- 2} = {(e^{x})}^{3} & \Leftrightarrow & e^{x - 2} = e^{3 x} \\ \Leftrightarrow & x - 2 = 3 x \\ \Leftrightarrow & x = - 1 \end{array}$
  L'équation $e^{x} \times e^{- 2} = {(e^{x})}^{3}$ a pour unique solution $x = - 1$ .
Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :
1. $e^{2 x} \times e^{x^{2}} ⩽ 1$
  $\begin{array}{rcl} e^{2 x} \times e^{x^{2}} ⩽ 1 & \Leftrightarrow & e^{x^{2} + 2 x} ⩽ 1 \\ \Leftrightarrow & x^{2} + 2 x ⩽ e^{0} \\ \Leftrightarrow & x^{2} + 2 x ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & x (x + 2) ⩽ 0 \end{array}$
  L'ensemble des solutions de l'inéquation $e^{2 x} \times e^{x^{2}} ⩽ 1$ est $S = [- 2; 0]$ .
2. $\frac{e^{3 x} - 9}{e^{x} + 3} ⩾ 0$
  Pour tout réel x, $e^{x} + 3 > 3$ donc pour tout réel x, le quotient $\frac{e^{3 x} - 9}{e^{x} + 3}$ est du même signe que $e^{3 x} - 9$ . Or $\begin{array}{rcl} e^{3 x} - 9 ⩾ 0 & \Leftrightarrow & e^{3 x} ⩾ 9 \\ \Leftrightarrow & 3 x ⩾ \ln 9 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ \frac{2 \ln 3}{3} \end{array}$
  L'ensemble des solutions de l'inéquation $\frac{e^{3 x} - 9}{e^{x} + 3} ⩾ 0$ est l'intervalle $S = [\frac{2 \ln 3}{3}; + \infty [$ .

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