contrôle du 25 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 2

1. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(0\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0.

   Cette tangente passe par l'origine du repère et le point de coordonnées $\left(\mathrm{1,5};-\mathrm{1,5}\right)$ d'où $f\prime \left(0\right)=-1$.

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La fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{1+{\mathrm{e}}^x}}-2$.

2. 1. Calculer $f\left(-\ln 7\right)$ et $f\left(\ln 3\right)$.

      • $\begin{array}{ccccccccc}f\left(-\ln 7\right)& =& {\displaystyle \frac{4}{1+{\mathrm{e}}^{-\ln 7}}}-2& =& {\displaystyle \frac{4}{1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\ln 7}}}}}-2& =& {\displaystyle \frac{4}{1+{\displaystyle \frac{1}{7}}}}-2& =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$

      • $\begin{array}{ccccccc}f\left(\ln 3\right)& =& {\displaystyle \frac{4}{1+{\mathrm{e}}^{\ln 3}}}-2& =& {\displaystyle \frac{4}{1+3}}-2& =& -1\end{array}$

      $f\left(-\ln 7\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $f\left(\ln 3\right)=-1$.

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   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=0$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{4}{1+{\mathrm{e}}^x}}-2=0& \iff & {\displaystyle \frac{1+{\mathrm{e}}^x}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \iff & 1+{\mathrm{e}}^x=2\\ & \iff & {\mathrm{e}}^x=1\\ & \iff & x=0\end{array}$$

      L'équation $f\left(x\right)=0$ admet pour unique solution $x=0$.

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3. La courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f admet-elle des asymptotes ?

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }1+{\mathrm{e}}^x=1$ donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{1+{\mathrm{e}}^x}}-2=2$.
   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }1+{\mathrm{e}}^x=+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{1+{\mathrm{e}}^x}}-2=-2$.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ donc la droite d'équation $y=2$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $-\infty$. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$ donc la droite d'équation $y=-2$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$.

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4. 1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      $f={\displaystyle \frac{4}{u}}-2$ d'où $f\prime =-{\displaystyle \frac{4u\prime }{u^2}}$ avec pour tout réel x, $u\left(x\right)=1+{\mathrm{e}}^x$ et $u\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$. Soit $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4{\mathrm{e}}^x}{{\left(1+{\mathrm{e}}^x\right)}^2}}$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4{\mathrm{e}}^x}{{\left(1+{\mathrm{e}}^x\right)}^2}}$.

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   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Pour tout réel x, on a ${\mathrm{e}}^x>0$ d'où ${\left(1+{\mathrm{e}}^x\right)}^2>0$ donc pour tout réel x, $-{\displaystyle \frac{4{\mathrm{e}}^x}{{\left(1+{\mathrm{e}}^x\right)}^2}}<0$.

      Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)<0$. Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante.

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5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $\left(-\ln 7\right)$.

   Une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $\left(-\ln 7\right)$ est :$$y=f\prime \left(-\ln 7\right)\times \left(x+\ln 7\right)+f\left(-\ln 7\right)$$

   Or $f\left(-\ln 7\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $f\prime \left(-\ln 7\right)=-{\displaystyle \frac{4{\mathrm{e}}^{-\ln 7}}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{-\ln 7}\right)}^2}}=-{\displaystyle \frac{4\times {\displaystyle \frac{1}{7}}}{{\left(1+{\displaystyle \frac{1}{7}}\right)}^2}}=-{\displaystyle \frac{7}{16}}$. On en déduit que :$$y=-{\displaystyle \frac{7}{16}}\times \left(x+\ln 7\right)+{\displaystyle \frac{3}{2}}$$

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $-\ln 7$ a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{7}{16}}x-{\displaystyle \frac{7\ln 7}{16}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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