contrôle du 8 janvier 2016

Corrigé de l'exercice 1

1. Déterminer $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(6\right)$

   • La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-1$ est paralèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-1\right)=0$

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   • Le nombre dérivé $f\prime \left(6\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_f$ au point $C\left(0;6\right)$ or cette tangente passe également par le point de coordonnées $\left(4;3\right)$ d'où $$f\prime \left(6\right)={\displaystyle \frac{2-0}{5-6}}=-2$$

     Ainsi, $f\prime \left(6\right)=-2$

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2. Donner le tableau de variations de la fonction F.

   Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f :

   x	− ∞		6		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $F\left(x\right)$

3. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f\prime$ et une autre de la primitive F.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

   • La fonction f est croissante sur l'intervalle $\left[-1;1\right]$ donc sur cet intervalle, $f\prime \left(x\right)⩾0$.

     La courbe $C_2$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction $f\prime$

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   • D'après les variations de la fonction F, le maximum de la fonction F est atteint pour $x=6$.

     La courbe $C_3$ est la seule courbe susceptible de représenter la fonction F

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4. Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré.

   Sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ la fonction f est positive donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=6$ est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$. $${\displaystyle {\int }_0^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(6\right)-F\left(0\right)$$

   Par lecture graphique sur la courbe $C_3$ on a : $F\left(6\right)\approx 8$ et $F\left(0\right)\approx -4$ d'où $$F\left(6\right)-F\left(0\right)\approx 8-\left(-4\right)\approx 12$$

   L'aire du domaine hachuré est égale à environ 12 unités d'aire.

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