Soit f la fonction définie pour tout réel x par .
La représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
(Unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.)
Déterminer .
et donc par produit, .
Ainsi, .
En écrivant que pour tout réel x, , déterminer .
Que peut-on en déduire pour la courbe ?
Pour tout réel x,
Comme on en déduit que . D'autre part, donc par somme, .
Ainsi, donc la courbe admet pour asymptote l'axe des abscisses en .
On désigne par la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que pour tout réel x, .
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
est la fonction définie pour tout réel x par .
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Pour tout réel x, donc est du même signe que .
D'où le tableau de variation de la fonction :
x | |||||
+ | − | ||||
0 |
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0.
Tracer la droite T sur le graphique précédent.
Une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 est :
Or et .
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation .
On cherche une primitive F de la fonction f sur de la forme avec a et b deux nombres réels.
Montrer que a et b sont solutions du système d'équations suivant : .
F est une primitive de la fonction f alors pour tout réel x, . Calculons la dérivée de la fonction F :
d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
Ainsi, pour tout réel x tel que . C'est à dire :
pour les réels a et b solutions du système d'équations :
Calculer a et b et donner l'expression de .
F est la fonction définie pour tout réel x par .
Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
En déduire la valeur arrondie à 0,01 cm2 près, de cette aire.
Pour tout réel x,
Sur l'intervalle la fonction f est positive donc l'aire A, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle :
Ainsi, unités d'aire. Or l'unité d'aire est égale à l'aire du rectangle de côtés 2 cm et 1 cm soit une aire de 2 cm2 d'où l'aire A, exprimée en cm2 est :
L'aire de la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et est égale à unités d'aire soit environ 13,87 cm2.
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