contrôles en terminale STI2D

contrôle du 8 janvier 2016

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(2x+3)e-x.
La représentation graphique Cf de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
(Unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.)

    1. Déterminer limx-f(x).

      limx-2x+3=- et limx-e-x=+ donc par produit, limx-(2x+3)e-x=-.

      Ainsi, limx-f(x)=-.


    2. En écrivant que pour tout réel x, f(x)=2xex+3ex, déterminer limx+f(x).
      Que peut-on en déduire pour la courbe Cf ?

      Pour tout réel x, (2x+3)e-x=2x+3ex=2xex+3ex

      Comme limx+exx=+ on en déduit que limx+2xex=0. D'autre part, limx+3ex=0 donc par somme, limx+2xex+3ex=0.

      Ainsi, limx+f(x)=0 donc la courbe Cf admet pour asymptote l'axe des abscisses en +.


  1. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Montrer que pour tout réel x, f(x)=(-2x-1)e-x.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=2x+3;u(x)=2v(x)=e-x;v(x)=-e-x

      Soit pour tout réel x, f(x)=2e-x+(2x+3)×(-e-x)=(2-2x-3)e-x=(-2x-1)e-x

      f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(-2x-1)e-x.


    2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, e-x>0 donc f(x) est du même signe que (-2x-1).

      D'où le tableau de variation de la fonction :

      x- -12 +
      f(x) +0|| 
      f(x)

      -

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2e

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0


  2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0.
    Tracer la droite T sur le graphique précédent.

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0 est :y=f(0)×(x-0)+f(0)

    Or f(0)=3 et f(0)=-1.

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0 a pour équation y=-x+3.


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. On cherche une primitive F de la fonction f sur de la forme F(x)=(ax+b)e-x avec a et b deux nombres réels.

    1. Montrer que a et b sont solutions du système d'équations suivant : {-a=2a-b=3.

      F est une primitive de la fonction f alors pour tout réel x, F(x)=f(x). Calculons la dérivée de la fonction F :

      F=uv d'où F=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=ax+b;u(x)=av(x)=e-x;v(x)=-e-x

      Soit pour tout réel x, F(x)=ae-x-(ax+b)e-x=(-ax+a-b)×e-x

      Ainsi, F(x)=f(x) pour tout réel x tel que -ax+a-b=2x+3. C'est à dire :

      pour les réels a et b solutions du système d'équations : {-a=2a-b=3


    2. Calculer a et b et donner l'expression de F(x).

      {-a=2a-b=3{a=-2b=-5

      F est la fonction définie pour tout réel x par F(x)=(-2x-5)e-x.


  4. Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-1 et x=2.
    En déduire la valeur arrondie à 0,01 cm2 près, de cette aire.

    Pour tout réel x, (2x+3)e-x02x+30x-32

    Sur l'intervalle [-1;2] la fonction f est positive donc l'aire A, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-1 et x=2 est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [-1;2] : -12f(x)dx=F(2)-F(-1)=(-9e-2)-(-3e1)=3e-9e-2

    Ainsi, A=3e-9e-2 unités d'aire. Or l'unité d'aire est égale à l'aire du rectangle de côtés 2 cm et 1 cm soit une aire de 2 cm2 d'où l'aire A, exprimée en cm2 est : 2×(3e-9e-2)13,87

    L'aire de la partie du plan comprise entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-1 et x=2 est égale à (3e-9e-2) unités d'aire soit environ 13,87 cm2.



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