contrôle du 16 janvier 2017

Corrigé de l'exercice 2

partie a

1. Calculer $f\left(-\ln 4\right)$ et $f\left(\ln 4\right)$.

   $$f\left(-\ln 4\right)={\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^{-\ln 4}-2}{{\mathrm{e}}^{-\ln 4}+1}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{e}}^{\ln 4}}}-2}{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\ln 4}}}+1}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}-2}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+1}}=-1$$

   $$f\left(\ln 4\right)={\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^{\ln 4}-2}{{\mathrm{e}}^{\ln 4}+1}}={\displaystyle \frac{3\times 4-2}{4+1}}=2$$

   $f\left(-\ln 4\right)=-1$ et $f\left(\ln 4\right)=2$.

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2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation : $f\left(x\right)=0$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^x-2}{{\mathrm{e}}^x+1}}=0\\ & \iff & 3{\mathrm{e}}^x-2=0\\ & \iff & {\mathrm{e}}^x={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & \iff & x=\ln \left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\end{array}$$

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet pour unique solution $x=\ln \left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)$.

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partie b

1. Calculer la limite de la fonction f en $-\infty$.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }3{\mathrm{e}}^x-2=-2$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x+1=1$ donc par quotient des limites $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^x-2}{{\mathrm{e}}^x+1}}=-2$.

   Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$.

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2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)=3-{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x+1}}$.

      Pour tout réel x, $${\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^x-2}{{\mathrm{e}}^x+1}}={\displaystyle \frac{3\left({\mathrm{e}}^x+1\right)-5}{{\mathrm{e}}^x+1}}=3-{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x+1}}$$

      Pour tout réel x, $f\left(x\right)=3-{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x+1}}$.

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   2. Calculer la limite de la fonction f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x+1=+\infty$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x+1}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }3-{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x+1}}=3$.

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$.

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3. La courbe $C_f$ représentative de la fonction f admet-elle des asymptotes ?

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$ donc la droite d'équation $y=-2$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $-\infty$. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ donc la droite d'équation $y=3$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

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4. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation : $3-f\left(x\right)⩽\mathrm{0,001}$.
   En déduire une valeur approchée au millième près de $f\left(9\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}3-f\left(x\right)⩽\mathrm{0,001}& \iff & {\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x+1}}⩽\mathrm{0,001}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x+1}{5}}⩾1000\\ & \iff & {\mathrm{e}}^x+1⩾5000\\ & \iff & x⩾\ln \left(4999\right)\approx \mathrm{8,52}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $3-f\left(x\right)⩽\mathrm{0,001}$ est l'intervalle $\left[\ln \left(4999\right);+\infty \right[$.
   Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ et que $9\in \left[\ln \left(4999\right);+\infty \right[$, on en déduit que 3 est une valeur approchée au millième près de $f\left(9\right)$.

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partie c

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=3{\mathrm{e}}^x-2& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=3{\mathrm{e}}^x\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^x\times \left({\mathrm{e}}^x+1\right)-\left(3{\mathrm{e}}^x-2\right)\times {\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(3{\mathrm{e}}^x+3-3{\mathrm{e}}^x+2\right)\times {\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5{\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5{\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}$.

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2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

   Pour tout réel x, on a ${\mathrm{e}}^x>0$ et ${\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2>0$ donc pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)>0$. Par conséquent, la fonction f est strictement croissante d'où le tableau de variation :

   x	$-\infty$		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+
   $f\left(x\right)$	$-2$		3

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{3-2}{1+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{5}{2^2}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$. On en déduit que :

   la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y={\displaystyle \frac{5}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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