contrôle du du 22 mai 2017

Exercice 1

D'après sujet BTS

Une entreprise fabrique par moulage des paraboles pour réception satellitaire en matériau composite. Ce matériau est disposé dans un moule à une température de 140 °C (degrés Celsius), puis pressé.

On pose $t=0$ à l'instant où la parabole est retirée du moule. Elle a alors une température de 140 °C. On la dépose à l'air libre à la température ambiante de 20 °C afin qu'elle refroidisse.

On note $f\left(t\right)$ la température de la parabole, en degrés Celsius à l'instant t, exprimée en secondes.
D'après la loi de refroidissement de Newton, la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ d'expression $f\left(t\right)$ est solution de l'équation différentielle $$\left(E\right):y\prime +\mathrm{0,004}y=\mathrm{0,08}$$ où l'inconnue y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$.

partie a : Résolution d'une équation différentielle

1. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

2. On rappelle que $f\left(0\right)=140$. En déduire l'expression de $f\left(t\right)$ pour $t\in \left[0;+\infty \right[$.

partie b : Étude d'une fonction

Dans cette partie, on admet que $f\left(t\right)=120{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,004}t}+20$ pour $t\in \left[0;+\infty \right[$.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$.

   2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. 1. Déterminer la dérivée $f\prime$ de la fonction f.

   2. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur $\left[0;+\infty \right[$.

3. Au cours du refroidissement, il arrive que la parabole doive subir des rectifications et des contrôles. Ceux-ci ne peuvent être effectués que lorsque la température de la parabole est inférieure à 30 °C.
   Quel est le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à 30 °C ?

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Exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle (E) : $y″+4y=0$, où y désigne une fonction de la variable réelle x.

2. Déterminer la solution particulière f de (E) telle que $f\left(0\right)=\sqrt{3}$ et $f\prime \left(0\right)=2$.

3. Montrer que la fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2\cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

4. Résoudre sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right]$ l'équation $f\left(x\right)=1$.

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