contrôle du du 31 mars 2017

exercice 1

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.

Les points A et B sont deux points de la courbe $C_f$.
La tangente à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse $\left(-2\right)$ est horizontale.

1. Résoudre graphiquement sur l'intervalle $\left[-5;1\right]$ l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩽0$.

2. 1. Donner l'équation de la tangente $𝒟$ à la courbe $C_f$ au point A de coordonnées $\left(-4;0\right)$ en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées $\left(-3;2\right)$.

   2. En déduire le nombre dérivé $f\prime \left(-4\right)$.

3. Soit F une primitive de la fonction fonction f.

   1. Donner le tableau de variation de la fonction F.

   2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction F.
      En justifiant votre réponse, déterminer la courbe associée à la fonction F.
      En déduire une valeur approchée, à l'unité d'aire près, de l'aire du domaine hachuré.

      Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

---

exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2 cm.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation : $\mathrm{i}z=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$.
   Exprimer la solution sous la forme algébrique.

2. Soient A, B et C les points dont les affixes respectives sont $z_A=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$, $z_B=-z_A$ et $z_C={z_A}^2$.

   1. Déterminer une écriture exponentielle de $z_B$ et $z_C$.

   2. Donner l'écriture algébrique de $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

   3. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

   4. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

3. Soit D le point d'affixe $z_D={\displaystyle \frac{8}{z_A}}$.
   Montrer que $z_D=-z_C$. En déduire la nature du quadrilatère ACBD.

---

exercice 3

partie a : Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par la relation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x$.

1. Déterminer les limites de f en $+\infty$ et en $-\infty$.

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et étudier son signe sur $ℝ$.

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur $ℝ$.

3. Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$.
   Donner une valeur arrondie à 10^-2 près de chaque solution.

4. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ représentative de la fonction f au point A d'abscisse 0.

partie b : Calcul d'aire

La courbe $C_f$ est représentée en annexe avec la droite T. On admet que la courbe $C_f$ se situe « au-dessus » de la droite T.
L'objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l'aire 𝒜 comprise entre la courbe $C_f$, la droite T et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$.

1. Hachurer sur le dessin, en annexe, l'aire 𝒜 que l'on veut déterminer.

2. 1. Déterminer une primitive de la fonction g définie pour tout réel x, par $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+{\displaystyle \frac{x}{2}}-1$.

   2. Justifier que l'aire 𝒜 recherchée vaut, en unité d'aire : $𝒜={\displaystyle {\int }_0^{4}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   3. En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à 10^-2 de 𝒜.

---

---

Télécharger le sujet :

  LaTeX      |      Pdf    

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variation, limitesLogarithme népérien : Propriétés algébriques , équationsFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentiellePrimitives d'une fonctionIntégrationÉquations différentiellesProbabilités : Lois de probabilité à densitéTrigonométrieNombres complexesFonctions : QCMFonctions : Vrai-Faux

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.