contrôles en terminale STI2D

contrôle du du 31 mars 2017

thèmes abordés

  • Nombres complexes.
  • Intégrale et aire.
  • Fonction exponentielle.

exercice 1

La courbe Cf tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les points A et B sont deux points de la courbe Cf.
La tangente à la courbe Cf au point B d'abscisse -2 est horizontale.

  1. Résoudre graphiquement sur l'intervalle -51 l'inéquation fx0.

    1. Donner l'équation de la tangente 𝒟 à la courbe Cf au point A de coordonnées -40 en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées -32.

    2. En déduire le nombre dérivé f-4.

  2. Soit F une primitive de la fonction fonction f.

    1. Donner le tableau de variation de la fonction F.

    2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction F.
      En justifiant votre réponse, déterminer la courbe associée à la fonction F.
      En déduire une valeur approchée, à l'unité d'aire près, de l'aire du domaine hachuré.

      Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
      Courbe C1Courbe C2Courbe C3

exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal Ouv d'unité graphique 2 cm.

  1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation : iz=-3+i.
    Exprimer la solution sous la forme algébrique.

  2. Soient A, B et C les points dont les affixes respectives sont zA=2eiπ3, zB=-zA et zC=zA2.

    1. Déterminer une écriture exponentielle de zB et zC.

    2. Donner l'écriture algébrique de zA, zB et zC.

    3. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

    4. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

  3. Soit D le point d'affixe zD=8zA.
    Montrer que zD=-zC. En déduire la nature du quadrilatère ACBD.


exercice 3

partie a : Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur par la relation fx=e-0,5x+x.

  1. Déterminer les limites de f en + et en -.

    1. Calculer fx et étudier son signe sur .

    2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur .

  2. Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l'équation fx=2.
    Donner une valeur arrondie à 10-2 près de chaque solution.

  3. Donner une équation de la tangente T à la courbe Cf représentative de la fonction f au point A d'abscisse 0.

partie b : Calcul d'aire

La courbe Cf est représentée en annexe avec la droite T. On admet que la courbe Cf se situe « au-dessus » de la droite T.
L'objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l'aire 𝒜 comprise entre la courbe Cf, la droite T et les droites d'équations x=0 et x=4.

  1. Hachurer sur le dessin, en annexe, l'aire 𝒜 que l'on veut déterminer.

    1. Déterminer une primitive de la fonction g définie pour tout réel x, par gx=e-0,5x+x2-1.

    2. Justifier que l'aire 𝒜 recherchée vaut, en unité d'aire : 𝒜=04gxdx.

    3. En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à 10-2 de 𝒜.

annexe

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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