contrôle du 14 octobre 2016

exercice 1

La température de refroidissement d'une pâtisserie à la sortie du four dépend du type de pâtisserie et de la température ambiante supposée constante de la pièce dans laquelle elle est entreposée.
La température d'une tarte à la sortie du four est de 180°C.
L'évolution de la température de la tarte en fonction du temps est modélisée par la suite $\left(T_n\right)$ définie par $T_0=180$ et, pour tout entier naturel n, $T_{n+1}=\mathrm{0,84}\times T_n+\mathrm{3,2}$.
Pour tout entier naturel n, le terme $T_n$ de la suite $\left(T_n\right)$ est égal à la température en degrés Celsius de la tarte n minutes après la sortie du four.

partie a

La tarte peut être sortie de son moule dès que sa température est inférieure à 80°C.
Pour déterminer au bout de combien de minutes la tarte peut être démoulée, on utilise un algorithme.

1. Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.

   variables :	N est un entier naturel T est un nombre réel
   initialisation :	Affecter à N la valeur 0 Affecter à T la valeur 180
   traitement :	Tant que $T⩾80$ Affecter à T la valeur … Affecter à N la valeur … Fin Tant que
   Sortie :	Afficher N

2. Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.

   Valeur de N	0	1	…
   Valeur de T	180		…
   Condition $T⩾80$	Vraie		…

3. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

partie b

1. Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $\left(V_n\right)$ par : $V_n=T_n-20$.

   1. Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

   2. Exprimer $V_n$ en fonction de n.

   3. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $T_n=160\times {\mathrm{0,84}}^n+20$.

2. Étudier la monotonie de la suite $\left(T_n\right)$.

3. Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$ et interpréter ce résultat.

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exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2-7x-{\displaystyle \frac{9}{x}}+15$.
On note $C_f$ la courbe représentative se la fonction f dans le plan.

1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$. La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.
   Calculer $f\prime \left(x\right)$ et, vérifier que pour tout réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-3\right)\left(2x^2-x-3\right)}{x^2}}$.

3. 1. Étudier le signe du polynôme $g\left(x\right)=2x^2-x-3$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

4. Donner le tableau de variations de la fonction f.

5. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

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