contrôle du 21 novembre 2016

exercice 1

1. Déterminer la primitive F de la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=x^2+2x-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$ telle que $F\left(1\right)=-1$.

2. Déterminer la primitive G de la fonction g définie pour tout réel t de l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ par $g\left(t\right)=3\cos \left(2t\right)$ telle que $G\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1$.

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exercice 2

partie a

On a tracé ci-dessous, la courbe $C_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f\prime$ de la fonction f et une autre d'une primitive F de la fonction f.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F. Justifier la réponse.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{18x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}$.

1. Soit F la primitive de la fonction f telle que $F\left(1\right)=0$.

   1. Montrer que la fonction G définie sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{9}{x^2+3}}$ est une primitive de la fonction f.

   2. En déduire une expression de $F\left(x\right)$.

2. Déterminer la limite de F en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement ces résultats.

3. Étudier les variations de la fonction F.

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_F$ représentative de la fonction F au point d'abscisse 1.

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