contrôle du 16 janvier 2017

exercice 1

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation : ${\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-4}={\left({\mathrm{e}}^x\right)}^4$.

2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation : $\left({\mathrm{e}}^x+1\right)\times \left({\mathrm{e}}^{2x}-2\right)⩾0$.

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exercice 2

On a tracé ci-dessous, la courbe $C_f$ représentative de la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^x-2}{{\mathrm{e}}^x+1}}$.

partie a

1. Calculer $f\left(-\ln 4\right)$ et $f\left(\ln 4\right)$.

2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation : $f\left(x\right)=0$.

partie b

1. Calculer la limite de la fonction f en $-\infty$.

2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)=3-{\displaystyle \frac{5}{{\mathrm{e}}^x+1}}$.

   2. Calculer la limite de la fonction f en $+\infty$.

3. La courbe $C_f$ représentative de la fonction f admet-elle des asymptotes ?

4. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation : $3-f\left(x\right)⩽\mathrm{0,001}$.
   En déduire une valeur approchée au millième près de $f\left(9\right)$.

partie c

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

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