contrôles en terminale STI2D

contrôle du 16 décembre 2016

thèmes abordés

Fonction logarithme népérien.
Suites géométriques.

exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

proposition 1 : $\ln 10 000 - \ln 0,1 + \ln 0,01 = 3 \ln 10$ .
proposition 2 : La solution de l'équation $2 \ln x = 1$ est $\frac{e}{2}$ .
proposition 3 : L'équation $2 \ln x = \ln (4 x - 3)$ admet une seule solution $x = 1$ .
proposition 4 : L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln (\frac{1}{x}) - \ln (x) ⩾ 0$ est l'intervalle $] 0; 1]$ .
proposition 5 : La fonction F définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \ln (x^{3}) - 2$ est une primitive de la fonction f définie par $f (x) = \frac{3}{x}$ .

exercice 2

Un groupe industriel s'engage à réduire ses émissions de polluants de 4 % par an.
En 2015, la masse de polluants émise dans l'atmosphère était de 50000 tonnes.
Pour tout entier naturel n, on note $u_{n}$ la masse, exprimée en tonnes, de polluants émise dans l'atmosphère pour l'année 2015 + n. On a donc $u_{0} = 50000$ .

1. Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ . En déduire la nature de la suite $(u_{n})$ .
2. Pour tout entier naturel n, exprimer $u_{n}$ en fonction de n.
1. En 2020, la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura-t-elle diminué de 20 % ?
2. On considère l'algorithme ci-dessous :
  variables
  - N un entier naturel
  - Q et U deux nombres réels
  initialisation
  - N prend la valeur 0
  - Q prend la valeur 0,96
  - U prend la valeur 50000
  traitement
  - Tant que ..................................
    - N prend la valeur ..................
    - U prend la valeur ..................
  - Fin Tant que
  sortie
  - Afficher ................
  Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie l'année à partir de laquelle la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura diminué d'au moins 20 %.
1. Déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation $50000 \times {0,96}^{n} ⩽ 30000$ .
2. À partir de quelle année, la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura diminué d'au moins 40 % ?

exercice 3

partie a

On a tracé ci-dessous, la courbe $C_{f}$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $] 0; + \infty [$ .

On note $f'$ la dérivée de la fonction f.
Par lecture graphique, déterminer $f' (1)$ et $f' (e)$ .

Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f'$ de la fonction f et une autre d'une primitive F de la fonction f.
Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction F. Justifier la réponse.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x strictement positif par $f (x) = x (\ln (x) - 2)$ .

Résoudre l'équation $f (x) = 0$ .
1. Calculer la limite de la fonction f en 0.
2. Calculer la limite de la fonction f en $+ \infty$ .
Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $] 0; + \infty [$ on a $f' (x) = \ln (x) - 1$ .
1. Étudier le signe de $f' (x)$ suivant les valeurs du réel x.
2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse $e^{2}$ .

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