contrôle du 18 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-3x}{x^2-x+2}}$.

1. Calculer la dérivée de la fonction f.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=1-3x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-3\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-x+2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-1\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-3\times \left(x^2-x+2\right)-\left(1-3x\right)\times \left(2x-1\right)}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-3x^2+3x-6-\left(2x-1-6x^2+3x\right)}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-3x^2+3x-6-5x+1+6x^2}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3x^2-2x-5}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2-2x-5}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}$.

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2. 1. Étudier le signe du polynôme du second degré défini pour tout réel x par $g\left(x\right)=3x^2-2x-5$.

      $g\left(x\right)=3x^2-2x-5$ polynôme du second degré avec $a=3$, $b=-2$ et $c=-5$.
      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4-4\times 3\times \left(-5\right)=64\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{2-8}{6}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{2+8}{6}}={\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $g\left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

      x	$-\infty$		$-1$		${\displaystyle \frac{5}{3}}$		$+\infty$
      Signe de $g\left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

   2. En déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Le discriminant du trinôme $x^2-x+2$ est : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1-4\times 1\times 2=-7\end{array}$$

      Comme $\mathrm{\Delta }<0$ nous pouvons en déduire que pour tout réel x, ${\left(x^2-x+2\right)}^2>0$.
      Par conséquent, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $g\left(x\right)=3x^2-2x-5$.

      D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$

      x	$-\infty$		$-1$		${\displaystyle \frac{5}{3}}$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

3. Donner le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum)

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

   x	$-\infty$		$-1$		${\displaystyle \frac{5}{3}}$		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+
   Variations de f			1		$-\frac{9}{7}$

   calcul des extremum :

   • La fonction f admet un maximum relatif pour $x=-1$ :$$f\left(-1\right)={\displaystyle \frac{1+3}{1+1+2}}=1$$

   • La fonction f admet un minimum relatif pour $x={\displaystyle \frac{5}{3}}$ : $$f\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1-5}{{\displaystyle \frac{25}{9}}-{\displaystyle \frac{5}{3}}+2}}={\displaystyle \frac{-4}{{\displaystyle \frac{28}{9}}}}=-{\displaystyle \frac{9}{7}}$$

4. La courbe $C_f$, représentative de la fonction f, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

   1. Donner une équation de la tangente d à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1.

      La tangente d à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1 a pour équation : $$y=f\prime \left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

      Or $$\begin{array}{ccc}f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1-3}{1-1+2}}=-1& \text{et}& f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{3-2-5}{{\left(1-1+2\right)}^2}}=-1\end{array}$$

      D'où une équation de la tangente d :$$\begin{array}{ccc}y=-\left(x-1\right)-1& \iff & y=-x\end{array}$$

      La tangente d à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-x$.

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   2. Tracer la droite d dans le repère précédent.

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