contrôle du 18 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ par $f\left(x\right)=2\cos x-\cos \left(2x\right)$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Calculer $f\left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$ et $f\left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$.

   $$\begin{array}{ccc}f\left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)& =& 2\cos \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)-\cos \left(-{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)\hfill \\ & =& 2\cos \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)-\cos \left(2\pi -{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)\hfill \\ & =& 2\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)-\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\hfill \\ & =& \cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \end{array}$$ et $$\begin{array}{ccc}f\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)& =& 2\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)-\cos \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\right)\hfill \\ & =& 2\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)-\cos \left({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-2\pi \right)\hfill \\ & =& 2\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)-\cos \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \end{array}$$

   $f\left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $f\left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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2. Montrer que la fonction f est paire. Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$ ?

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$, $$\begin{array}{ccc}f\left(-x\right)& =& 2\cos \left(-x\right)-\cos \left(-2x\right)\hfill \\ & =& 2\cos x-\cos \left(2x\right)\hfill \\ & =& f\left(x\right)\hfill \end{array}$$

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$, on a $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ donc f est une fonction paire. Par conséquent, la courbe $C_f$ admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

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3. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -2\sin \left(x\right)-\left(-2\sin \left(2x\right)\right)\hfill \\ & =& 2\sin \left(2x\right)-2\sin \left(x\right)\hfill \end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ par $f\prime \left(x\right)=2\sin \left(2x\right)-2\sin \left(x\right)$.

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4. Résoudre dans l'intervalle $\left[0;\pi \right]$ l'équation $\sin \left(2x\right)=\sin \left(x\right)$.

   Les solutions de l'équation $\sin \left(2x\right)=\sin \left(x\right)$ sont les réels x tels que $\{\begin{array}{l}2x=x+2k\pi \\ 2x=\pi -x+2k\pi \end{array}$ où k est un entier relatif. Soit les réels x tels que : $$\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\{\begin{array}{l}x=2k\pi \\ 3x=\pi +2k\pi \end{array}& k\in \mathbb{Z}\end{array}& \iff & \begin{array}{cc}\{\begin{array}{l}x=2k\pi \\ x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{2k}{3}}\pi \end{array}& k\in \mathbb{Z}\end{array}\end{array}$$ Soit en choisissant $k=0$ ou $k=1$ :

   sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$, l'ensemble S des solutions de l'équation $\sin \left(2x\right)=\sin \left(x\right)$ est $S=\left\{0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}};\pi \right\}$.

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5. 1. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f\prime$ sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$.
      À l'aide du graphique, déterminer le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$.

      Par lecture graphique, le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$ est :

      x		0		${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$		$\pi$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$ puis, sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;\pi \right]$

      x		0		${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$		$\pi$
      $f\prime \left(x\right)$		$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$
      $f\left(x\right)$		1		1,5		$-3$

      calcul des extremum :

      • $f\left(0\right)=2\cos \left(0\right)-\cos \left(0\right)=1$

      • $f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=2\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)-\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$

      • $f\left(\pi \right)=2\cos \left(\pi \right)-\cos \left(2\pi \right)=-3$

      En utilisant la parité de la fonction fon en déduit le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ :

      x		$-\pi$		$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$		0		${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$		$\pi$
      $f\left(x\right)$		$-3$		1,5		1		1,5		$-3$

6. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ a pour équation : $$y=f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$$

   Or $f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=2\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)-\cos \left(\pi \right)=1$ et $f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=2\sin \left(\pi \right)-2\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=-2$

   D'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y=-2\times \left(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)+1& \iff & y=-2x+\pi +1\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ a pour équation $y=-2x+\pi +1$.

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7. Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ dans le repère précédent. (On fera apparaître les tangentes parallèles à l'axe des abscisses)

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