contrôle du 05 mars 2015

Corrigé de l'exercice 1

partie a : Lecture graphique

1. Donner la valeur de $f\prime \left(3\right)$.

   La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(3\right)=0$.

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2. Déterminer le signe de $f\prime \left(-1\right)$ et de $f\prime \left(6\right)$.

   • Sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$ la fonction f est croissante donc $f\prime \left(-1\right)⩾0$.

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   • Sur l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$ la fonction f est décroissante donc $f\prime \left(6\right)⩽0$.

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partie b : Étude d'une fonction

La fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x-1}{x^2-2x+8}}$.

1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

   • $f\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$. La courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;-{\displaystyle \frac{1}{8}}\right)$.

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   • Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{4x-1}{x^2-2x+8}}=0\\ & \iff & 4x-1=0\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{1}{4}};0\right)$.

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2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2+2x+30}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}$.

      Le discriminant du polynôme $P\left(x\right)=x^2-2x+8$ est : $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times 1\times 8=-28\end{array}$. $\mathrm{\Delta }<0$ donc pour tout réel x, $x^2-2x+8>0$.

      f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=4x-1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=4\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-2x+8& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-2\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times \left(x^2-2x+8\right)-\left(2x-2\right)\times \left(4x-1\right)}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2-8x+32-8x^2+2x+8x-2}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-4x^2+2x+30}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2+2x+30}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}$.

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   2. Étudier le signe du polynôme $g\left(x\right)=-4x^2+2x+30$.

      Étudions le signe du trinôme $g\left(x\right)=-4x^2+2x+30$ avec $a=-4$, $b=2$ et $c=30$.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=2^2-4\times \left(-4\right)\times 30=484={22}^2\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-2-22}{2\times \left(-4\right)}}=3\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-2+22}{2\times \left(-4\right)}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $g\left(x\right)=-4x^2+2x+30$ :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{5}{2}}$		3		$+\infty$
      $g\left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

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   3. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum).

      Les variations de la fonction f, se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$. Comme pour tout réel x, ${\left(x^2-2x+8\right)}^2>0$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $g\left(x\right)=-4x^2+2x+30$.

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{5}{2}}$		3		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Variation de f			$-{\displaystyle \frac{4}{7}}$		1

      Calcul des extremum

      • La fonction f admet un minimum relatif pour $x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ et, $\begin{array}{ccccc}f\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times \left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)-1}{{\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-2\times \left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)+8}}& =& -{\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}$.
      • La fonction f admet un maximum relatif pour $x=3$ et, $\begin{array}{ccccc}f\left(3\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times 3-1}{3^2-2\times 3+8}}& =& 1\end{array}$.

3. Le point $B\left(2;1\right)$ appartient-il à la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 ? Tracer la tangente T dans le repère précédent.

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation : $$y=f\prime \left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)={\displaystyle \frac{4-1}{1-2+8}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$ et $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{-4+2+30}{7^2}}=-{\displaystyle \frac{4}{7}}$. D'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{4}{7}}\times \left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{3}{7}}& \iff & y={\displaystyle \frac{4}{7}}x-{\displaystyle \frac{1}{7}}\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{4}{7}}\times 2-{\displaystyle \frac{1}{7}}=1$ alors, les coordonnées du point $B\left(2;1\right)$ vérifient l'équation de la tangente T.

   Le point $B\left(2;1\right)$ appartient à la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

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   La droite T passe par le point de la courbe $C_f$ d'abscisse 1 et le point $B\left(2;1\right)$.

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