contrôle du 05 mars 2015

Corrigé de l'exercice 2

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=3$ et pour pour tout entier naturel n, $u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

1. Calculer $u_3$.

   $$\begin{array}{l}{u}_1={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=1\\ u_2={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0\\ u_3=0-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, $u_3=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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2. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n+1$.

   1. Montrer que pour tout entier naturel n, $v_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(u_n+1\right)$. En déduire que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}+1\\ & =& {\displaystyle \frac{u_n}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1\\ & =& {\displaystyle \frac{u_n}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(u_n+1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times v_n\end{array}$$

      Pour tout entier n, $v_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times v_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{v}_0=u_0+1& \text{soit}& v_0=3+1=4\end{array}$$

      Ainsi, $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 4.

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   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $v_0=4$ alors pour tout entier n, $v_n=4\times {\mathrm{0,5}}^n$.

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   3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel n par $u_n=4\times {\mathrm{0,5}}^n-1$.

      Pour tout entier n, $v_n=u_n+1$ d'où $u_n=v_n-1$.

      Donc pour tout entier n, $u_n=4\times {\mathrm{0,5}}^n-1$.

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3. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}-u_n& =& \left(4\times {\mathrm{0,5}}^{n+1}-1\right)-\left(4\times {\mathrm{0,5}}^n-1\right)\\ & =& 4\times {\mathrm{0,5}}^{n+1}-4\times {\mathrm{0,5}}^n\\ & =& 4\times \mathrm{0,5}\times {\mathrm{0,5}}^n-4\times {\mathrm{0,5}}^n\\ & =& {\mathrm{0,5}}^n\times \left(2-4\right)\\ & =& -2\times {\mathrm{0,5}}^n\end{array}$$

   Or pour tout entier naturel n, ${\mathrm{0,5}}^n>0$ d'où $-2\times {\mathrm{0,5}}^n<0$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}-u_n<0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.

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