sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Tous les résultats seront arrondis au millième si nécessaire

1. Traduire les données par un arbre pondéré.

   • 40 % des candidats choisissent la formule AAC d'où $p\left(A\right)=\mathrm{0,40}$.
   • Un candidat préparant son permis la filière AAC obtient son permis lors de la première présentation dans 79 % des cas d'où $p_A\left(S\right)=\mathrm{0,79}$.
   • Un candidat préparant son permis avec la filière traditionnelle obtient son permis lors de la première présentation dans 49 % des cas d'où $p_{\overline{A}}\left(S\right)=\mathrm{0,49}$.

   D'où l'arbre pondéré :

2. 1. Calculer la probabilité de l'évènement : « le candidat a obtenu le permis lors de la première présentation et il l'a préparé avec la filière AAC ».

      Il s'agit de calculer $p\left(A\cap S\right)$ : $$\begin{array}{lll}p\left(A\cap S\right)& =& p_A\left(S\right)\times p\left(A\right)\\ & =& \mathrm{0,79}\times \mathrm{0,40}\\ & =& \mathrm{0,316}\end{array}$$

      La probabilité de l'évènement « le candidat a obtenu le permis lors de la première présentation et il l'a préparé avec la filière AAC » est égale à 0,316.

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   2. Calculer la probabilité d'obtenir le permis de conduire lors de la première présentation.

      A et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales : $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$ $$p\left(S\right)=p\left(S\cap A\right)+p\left(S\cap \overline{A}\right)$$

      Or $p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)=1-\mathrm{0,40}=\mathrm{0,60}$ . D'où $$\begin{array}{lll}p\left(S\cap \overline{A}\right)& =& p_{\overline{A}}\left(S\right)\times p\left(\overline{A}\right)\\ & =& \mathrm{0,49}\times \mathrm{0,60}\\ & =& \mathrm{0,294}\end{array}$$

      Et $$\begin{array}{lll}p\left(S\right)& =& p\left(S\cap A\right)+p\left(S\cap \overline{A}\right)\\ & =& \mathrm{0,316}+\mathrm{0,294}\\ & =& \mathrm{0,61}\end{array}$$

      La probabilité d'obtenir le permis de conduire lors de la première présentation est égale à 0,61.

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3. Le candidat interrogé a échoué lors de la première présentation. Quelle est la probabilité qu'il ait préparé l'examen avec la filière AAC ?

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle $p_{\overline{S}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap \overline{S}\right)}{p\left(\overline{S}\right)}}={\displaystyle \frac{p_A\left(\overline{S}\right)\times p\left(A\right)}{p\left(\overline{S}\right)}}$.

   Or $p\left(\overline{S}\right)=1-p\left(S\right)=1-\mathrm{0,61}=\mathrm{0,39}$ et $p_A\left(\overline{S}\right)=1-p_A\left(S\right)=1-\mathrm{0,79}=\mathrm{0,21}$. D'où $$p_{\overline{S}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,21}\times \mathrm{0,40}}{\mathrm{0,39}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,084}}{\mathrm{0,39}}}\approx \mathrm{0,215}$$

   La probabilité qu'un candidat ait préparé l'examen avec la filière AAC  sachant qu'il a échoué lors de la première présentation est égale à 0,215 arrondi au millième près.

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4. On interroge au hasard et de façon indépendante trois candidats après l'obtention du résultat de leur première présentation.
   Calculer la probabilité d'interroger au moins un candidat ayant échoué.

   Interroger au hasard et de façon indépendante trois candidats après l'obtention du résultat de leur première présentation, est la répétition de trois épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de candidats qui ont réussi est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,61.

   L'évènement "au moins un des trois candidats a échoué" est l'évènement contraire de l'évènement "les trois candidats ont réussi".

   Or la probabilité d'obtenir trois succès consécutifs est égale à : ${p\left(S\right)}^3={\left(\mathrm{0,61}\right)}^3$.

   La probabilité d'interroger au moins un candidat ayant échoué est donc : $1-{\left(\mathrm{0,61}\right)}^3$

   Arrondie au millième, la probabilité d'interroger au moins un candidat ayant échoué est égale à 0,773.

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5. Cette auto-école pratique les tarifs suivants :

   • 1 200 € le forfait 20 heures avec la filière AAC ;
   • 1 050 € le forfait 20 heures avec la filière traditionnelle.

   Sachant que le nombre d'inscrits est de 200 candidats pour l'année, quel est le chiffre d'affaires annuel de cette auto-école pour l'année 2006 ?

   Il y a 40 % des candidats inscrits qui choisissent la formule AAC par conséquent, le chiffre d'affaires est de : $$1200\times \mathrm{0,40}\times 200+1050\times \mathrm{0,60}\times 200=222000$$

   En considérant qu'un candidat ne souscrit qu'à un forfait de 20 heures, le chiffre d'affaires annuel de cette auto-école engendré par une première présentation au permis est de 222 000 €.

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