sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une nouvelle console de jeux est mise sur le marché. Soit x le prix unitaire en centaines d'euros de cette console.

La fonction d'offre des fournisseurs (en milliers de console) est la fonction f définie sur $]0;6]$ par $$f\left(x\right)=\mathrm{0,7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}$$ où $f\left(x\right)$ est la quantité proposée par les fournisseurs pour un prix unitaire de x.

La fonction de demande des consommateurs (en milliers de console) est la fonction g définie sur  $]0;6]$ par $$g\left(x\right)=10\ln \left({\displaystyle \frac{20}{x}}\right)$$ où $g\left(x\right)$ est la quantité demandée par les consommateurs pour un prix unitaire de x.

1. Les courbes représentatives $C_f$ et $C_g$ des fonctions f et g sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous.

   1. Identifier les courbes $C_f$ et $C_g$. Expliquez votre choix.

      Utiliser le théorème sur les variations des fonctions composées pour déterminer, les variations des fonctions f et g.

   2. Que représente le point A d'un point de vue économique ? Lire ses coordonnées $\left(x_0;y_0\right)$ sur le graphique.

2. Pour déterminer les coordonnées de A de façon précise, on est amené à résoudre l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
   On pose, pour tout x appartenant à $]0;6]$, $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   1. Montrer que $h\prime \left(x\right)=\mathrm{0,35}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}+{\displaystyle \frac{10}{x}}$.

   2. Étudier le signe de la dérivée $h\prime$ et en déduire le sens de variations de h.

   3. Démontrer que l'équation $h\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0$ sur l'intervalle $[2;3]$.
      Déterminer alors la valeur arrondie au dixième de $x_0$ à l'aide de la calculatrice.

   4. En déduire le prix unitaire d'équilibre de cette console en euros et le nombre de consoles disponibles à ce prix (arrondir à la centaine).

   La question 3 est indépendante de la question 2.

3. Surplus des fournisseurs

   On prendra dans cette question $x_0=\mathrm{2,7}$ et $y_0=20$.

   1. Déterminer une primitive F de f sur l'intervalle $]0;6]$.

   2. On appelle surplus des fournisseurs le nombre $S=x_0{y}_0-{\displaystyle {\int }_0^{x_0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
      Ce nombre représente une aire.

      Représenter cette aire sur le graphique précédent.

      Calculer S.

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