Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Soit une fonction f définie sur et dérivable sur . On donne son tableau de variations :

x − ∞   − 1   + ∞

fx

− ∞

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

3

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

0


La courbe (C) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points A-31 et B-13. Les droites (D) et (D′) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer graphiquement f-3 et f-1.

  2. Soit g la fonction définie sur par gx=efx . On admet que g est dérivable sur .

    1. Justifier que f et g ont les mêmes variations.

    2. Déterminer limx-gx et limx+gx (on justifiera les résultats).

    3. Calculer g-3.

  3. Soit h la fonction définie sur l'intervalle -3,1+ par hx=lnfx . On admet que h est dérivable sur sur l'intervalle -3,1+.

    1. Déterminer limx+hx (on justifiera le résultat).

    2. Calculer h-3.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Deux joueurs A et B, amateurs de tennis, décident de jouer une partie toutes les semaines.

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on désigne par An l'évènement : « A gagne la partie de la nième semaine », par Bn l'évènement : « B gagne la partie de la nième semaine », et on note an=pAn.
Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite an, en utilisant deux méthodes différentes.

Première méthode : graphe probabiliste

Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par Pn=an1-an la matrice des probabilités associée à la nième semaine.

  1. Décrire cette situation à l'aide d'un graphe probabiliste, et donner la matrice M de transition associée à ce graphe.

  2. On donne M2=0,70,30,450,55 et M3=0,550,450,6750,325
    Quelle est la probabilité pour que A gagne la partie de la 4ème semaine ?

  3. Déterminer la matrice ligne P=x1-x telle que P×M=P.

  4. En déduire la limite de la suite an et interpréter le résultat obtenu.

Deuxième méthode : probabilité et suites

Dans cette deuxième partie, on ne tient pas compte de résultats démontrés dans la partie précédente.

    1. Recopier sur votre copie l'arbre ci-dessous, et compléter l'arbre avec les 5 probabilités manquantes.

      Arbre probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Justifier que an+1=0,9-0,5an pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

  1. On considère la suite un définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par : un=an-0,6.

    1. Démontrer que un est une suite géométrique de raison (−0,5).

    2. En déduire l'expression de an en fonction de n, puis la limite de la suite an .


Exercice 3 ( 5 POINTS ) commun à tous les candidats

Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut DA et le défaut DB, à l'exclusion de tout autre défaut.

  1. On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 28 % ont le défaut DA, 37 % ont le défaut DB, et 10 % ont les deux défauts.

    On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

  2. Dans la suite du problème on s'intéresse aux pièces défectueuses qui n'ont qu'un seul défaut.

    On admet que 40 % de ces pièces ont seulement le défaut DA, et que 60 % de ces pièces ont seulement le défaut DB. On a constaté que 40 % des pièces qui ont le défaut DA sont réparables, et que 30 % des pièces qui ont le défaut DB sont réparables.

    On choisit une pièce au hasard. On note :

    • A l'évènement : « La pièce a le défaut DA » ;
    • B l'évènement : « La pièce a le défaut DB » ;
    • R l'évènement : « La pièce est réparable ».
    1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    2. Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie a le défaut DA et est réparable ».

    3. Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie est réparable ».

    4. Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle ait le défaut DA (le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible).

    5. À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut. On suppose que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.

      Calculer la probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut DA.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Lors d'une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de 5 minutes.
Pendant ces 5 minutes, les appels arrivent de façon continue, avec un débit variable en fonction du temps. Si x est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en milliers d'appels par minute, est donné par la fonction f telle que :
fx=-4x2+8x pour x01.
fx=lnx-x+5 pour x15.

La courbe (C), représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan, est donnée ci-après à titre indicatif.

On veut calculer le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes, et on admet que ce nombre d'appels est donné par 05fxdx.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Démontrer que f est croissante sur 01, et décroissante sur 15.

    1. Donner une primitive de la fonction f sur 01.

    2. Calculer l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.

    1. Soient g et G les fonctions définie sur 15 par gx=lnx et Gx=xlnx-x.
      Montrer que G est une primitive de g sur 15.

    2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=1 et x=5.

  2. Donner le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes.



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✉ A.Yallouz

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