sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

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1. Les courbes représentatives $C_f$ et $C_g$ des fonctions f et g sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous.

   1. Identifier les courbes $C_f$ et $C_g$. Expliquez votre choix.

      Soit u la fonction affine définie par : $u\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+2$, alors les fonctions u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations sur $ℝ$. (Voir le théorème) Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations sur I.

      La fonction affine u étant strictement croissante sur $ℝ$, la fonction $x\to {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}$ est strictement croissante sur $ℝ$.

      Donc la fonction f définie sur $]0;6]$ par $f\left(x\right)=\mathrm{0,7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}$, est strictement croissante.

      La courbe représentative de la fonction f est celle tracée en bleu.

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      Soit v la fonction définie sur $]0;6]$ par : $v\left(x\right)={\displaystyle \frac{20}{x}}$. La fonction v est strictement positive sur $]0;6]$, alors les fonctions v et $\ln v$ ont les mêmes variations sur $]0;6]$. (Voir le théorème) Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.

      La fonction v étant strictement décroissante sur $]0;6]$, la fonction g définie sur $]0;6]$ par $g\left(x\right)=10\ln \left({\displaystyle \frac{20}{x}}\right)$ , est strictement décroissante.

      La courbe représentative de la fonction g est celle tracée en rouge.

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   2. Que représente le point A d'un point de vue économique ? Lire ses coordonnées $\left(x_0;y_0\right)$ sur le graphique.

      Le point A est le point d'équilibre du marché, le prix unitaire $x_0$ demandé par les consommateurs correspond au prix d'offre des fournisseurs, et la quantité échangée (en milliers de consoles) sur le marché à ce prix est égale à $y_0$.

      Le point A est le point d'équilibre du marché, par lecture graphique, ses coordonnées sont $x_0=\mathrm{2,7}$ et $y_0=20$.

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2. Pour déterminer les coordonnées de A de façon précise, on est amené à résoudre l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
   On pose, pour tout x appartenant à $]0;6]$, $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   1. Montrer que $h\prime \left(x\right)=\mathrm{0,35}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}+{\displaystyle \frac{10}{x}}$.

      Pour tout x appartenant à $]0;6]$, $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ par conséquent, pour tout x appartenant à $]0;6]$, $h\prime \left(x\right)=f\prime \left(x\right)-g\prime \left(x\right)$.

      Déterminons $f\prime \left(x\right)$ et $g\prime \left(x\right)$ :

      • $f\left(x\right)=\mathrm{0,7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}$ d'où $f=\mathrm{0,7}{\mathrm{e}}^u$ avec $u\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+2$. Donc $f\prime =\mathrm{0,7}\times u\prime \times {\mathrm{e}}^u$

        Or $u\prime \left(x\right)=\mathrm{0,5}$ . Par conséquent, $$f\prime \left(x\right)=\mathrm{0,35}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}$$

      • $g\left(x\right)=10\ln \left({\displaystyle \frac{20}{x}}\right)$ d'où $g=10\ln v$ avec $v\left(x\right)={\displaystyle \frac{20}{x}}$. Donc $g\prime =10\times {\displaystyle \frac{v\prime }{v}}$

        Or $v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{20}{x^2}}$ . Par conséquent, $$g\prime \left(x\right)=-10\times {\displaystyle \frac{20}{x^2}}\times {\displaystyle \frac{x}{20}}=-{\displaystyle \frac{10}{x}}$$

      Ainsi, pour tout x appartenant à $]0;6]$, $h\prime \left(x\right)=\mathrm{0,35}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}+{\displaystyle \frac{10}{x}}$.

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   2. Étudier le signe de la dérivée $h\prime$ et en déduire le sens de variations de h.

      Pour tout réel x, $\mathrm{0,35}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}>0$ et pour tout réel strictement positif, ${\displaystyle \frac{10}{x}}>0$.

      Donc pour tout réel appartenant à $]0;6]$, $h\prime \left(x\right)>0$ alors, la fonction h est strictement croissante sur $]0;6]$.

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   3. Démontrer que l'équation $h\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0$ sur l'intervalle $[2;3]$.
      Déterminer alors la valeur arrondie au dixième de $x_0$ à l'aide de la calculatrice.

      Sur l'ntervalle $]0;6]$, la fonction h est continue et strictement croissante.

      D'autre part, $h\left(2\right)=\mathrm{0,7}{\mathrm{e}}^3-10\ln 10\approx -\mathrm{8,97}$ et $h\left(3\right)=\mathrm{0,7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{3,5}}-10\ln {\displaystyle \frac{20}{3}}\approx \mathrm{4,21}$ d'où $0\in [h\left(2\right);h\left(3\right)]$.

      Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire : Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      l'équation $h\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0$ sur l'intervalle $[2;3]$.

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      Pour déterminer alors la valeur arrondie au dixième de $x_0$, il suffit de déterminer à l'aide de la calculatrice un encadrement d'amplitude 10^-2 de $x_0$.

      Or $h\left(\mathrm{2,70}\right)\approx -\mathrm{0,07}$ et $h\left(\mathrm{2,71}\right)\approx \mathrm{0,06}$ d'où

      La valeur arrondie au dixième de $x_0$ est 2,7.

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   4. En déduire le prix unitaire d'équilibre de cette console en euros et le nombre de consoles disponibles à ce prix (arrondir à la centaine).

      Le prix d'équilibre en centaines d'euros est égal à $x_0$ et pour ce prix, $f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)$.

      À l'aide de la calculatrice nous obtenons $f\left(\mathrm{2,7}\right)\approx \mathrm{19,952}$ ou $g\left(\mathrm{2,7}\right)\approx \mathrm{20,025}$ d'où

      Le prix unitaire d'équilibre de cette console est de 270 euros et le nombre de consoles arrondi à la centaine disponibles à ce prix est de 20 000 .

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   La question 3 est indépendante de la question 2.

3. Surplus des fournisseurs
   On prendra dans cette question $x_0=\mathrm{2,7}$ et $y_0=20$.

   1. Déterminer une primitive F de f sur l'intervalle $]0;6]$.

      Posons $u\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+2$ , d 'où $u\prime \left(x\right)=\mathrm{0,5}$. Or $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}}{\mathrm{0,5}}}\times \mathrm{0,5}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}$ donc $f={\displaystyle \frac{7}{5}}\times u\prime \times {\mathrm{e}}^u$

      Ainsi, une primitive de f est la fonction $F={\displaystyle \frac{7}{5}}\times {\mathrm{e}}^u+C$ où C est un réel quelconque.

      La fonction F définie sur $]0;6]$ par $F\left(x\right)=\mathrm{1,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}$ est une primitive de la fonction f.

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   2. On appelle surplus des fournisseurs le nombre $S=x_0{y}_0-{\displaystyle {\int }_0^{x_0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Ce nombre représente une aire.

      Représenter cette aire sur le graphique précédent.

      Calculer S.

      $$\begin{array}{lll}S=x_0{y}_0-{\displaystyle {\int }_0^{x_0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& x_0{y}_0-{\displaystyle {[\mathrm{1,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x+2}]}_0^{x_0}}\\ & =& \mathrm{2,7}\times 20-\left(\mathrm{1,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}\times \mathrm{2,7}+2}-\mathrm{1,4}{\mathrm{e}}^2\right)\\ & =& 54-\mathrm{1,4}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{3,35}}-{\mathrm{e}}^2\right)\end{array}$$

      Les quantités sont en milliers et le prix unitaire en centaines d'euros, donc le surplus est en centaines de milliers d'euros.

      Arrondi au millier d'euros le surplus des fournisseurs est de 2 444 milliers d'euros.

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