1. Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que la fonction exponentielle admet pour asymptote la droite d'équation $y=0$ ?

Il s'agit d'une question de cours :
$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ alors, la fonction exponentielle admet pour asymptote la droite d'équation $y=0$

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$

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• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}=+\infty$

2. Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que l'inéquation $\ln \left(2x+1\right)⩾\ln \left(x+3\right)$ admet l'intervalle $[2;+\infty [$ comme ensemble de solution ?

L'inéquation $\ln \left(2x+1\right)⩾\ln \left(x+3\right)$ n'a de sens que :
pour $2x+1>0\iff x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et pour $x+3>0\iff x>-3$

Pour tout réel $x\in ]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$, $$\begin{array}{llll}\ln \left(2x+1\right)⩾\ln \left(x+3\right)& \iff & 2x+1⩾x+3& \text{la fonction }\ln \text{ est strictement croissante sur }]0;+\infty [\\ & \iff & x⩾2& \end{array}$$

• la fonction ln est positive sur $[1;+\infty [$

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$

• la fonction ln est croissante sur $]0;+\infty [$

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3. Parmi les propositions suivantes quelle est celle qui permet d'affirmer qu'une primitive de la fonction f définie sur $ℝ$ par $x\to \left(x+1\right){\mathrm{e}}^x$ est la fonction g : $x\to x{\mathrm{e}}^x$ ?

D'après la définition f est une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que pour tout réel x de I, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. , dire que g est une primitive de f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

• Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$

• Pour tout réel x, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$

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• Pour tout réel x, $g\left(x\right)=f\prime \left(x\right)+k$, k réel quelconque.

4. L'équation $2{\mathrm{e}}^{2x}-3{\mathrm{e}}^x+1=0$ admet pour ensemble solution

On pose $X={\mathrm{e}}^x$ avec $X>0$.

L'équation $2{\mathrm{e}}^{2x}-3{\mathrm{e}}^x+1=0$ s'écrit $2X^2-3X+1=0$, équation du second degré.

Le discriminant est :$$\mathrm{\Delta }=9-4\times 2\times 1=1$$

$\mathrm{\Delta }>0$, donc il y a deux solutions :$$\begin{array}{ccc}{X}_1={\displaystyle \frac{3-1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& X_2={\displaystyle \frac{3+1}{4}}=1\end{array}$$

Les deux solutions conviennent car elles sont positives. Or $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^x={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff x=\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& {\mathrm{e}}^x=1\iff x=0\end{array}$$

Donc l'équation $2{\mathrm{e}}^{2x}-3{\mathrm{e}}^x+1=0$ admet deux solutions $x_1=\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $x_2=0$

• $\{{\displaystyle \frac{1}{2}};1\}$

• $\{0;\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}\}$

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• $\{0;\ln 2\}$

5. Pour tout $n\in \mathbb{N}$,

D'après le théorème du cours relatif aux croissances comparées :

Pour tout entier natuel n strictement positif, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}}=+\infty$$

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}}=1$

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}}=+\infty$

  ---

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}}=0$

6. Soit f la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=2\ln x-3x+4$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est :

Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est $y=f\prime \left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$

Or $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-3$ d'où $f\prime \left(1\right)=2-3=-1$,
et $f\left(1\right)=2\ln 1-3+4=1$

Donc $y=-\left(x-1\right)+1$ soit $y=-x+2$

• $y=-x+2$

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• $y=x+2$

• $y=-x-2$

7. La valeur moyenne sur $[1;3]$ de la fonction f définie par : $f\left(x\right)=x^2+2x$ est :

La valeur moyenne sur $[1;3]$ de la fonction f est par définition : Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$ $$m={\displaystyle \frac{1}{3-1}}{\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

D'où,$$\begin{array}{lll}m={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_1^3\left(x^2+2x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2\right]}_1^3}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left({\displaystyle \frac{27}{3}}+9-{\displaystyle \frac{1}{3}}-1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{50}{3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{25}{3}}\end{array}$$

• ${\displaystyle \frac{50}{3}}$

• ${\displaystyle \frac{25}{3}}$

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• 6

8. $\exp \left(\ln x\right)=x$ pour tout x appartenant à

La fonction ln est définie sur $]0;+\infty [$, donc $\exp \left(\ln x\right)=x$ pour tout x appartenant à $]0;+\infty [$

• $ℝ$

• $]0;+\infty [$

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• $[0;+\infty [$