Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Nouvelle Calédonie

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

La courbe Cf de la figure 1 est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -4+.
On donne les renseignements suivants :

On note f la fonction dérivée de la fonction f.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse à l'aide des renseignements ci-dessus ou du graphique.

  1. La limite de la fonction f en + ∞ est 1.

  2. f0=-12.

  3. Pour tout x élément de l'intervalle -2+, on a : fx0.

  4. Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle -4+, alors la fonction F est décroissante sur l'intervalle -2+.

  5. -20fxdx<15

Figure 1

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Un appareil de très haute technologie est installé dans un laboratoire d'analyse médicale. L'installateur assure une maintenance à l'issue de chaque semaine d'utilisation. Pour cette maintenance, soit il doit se déplacer (intervention directe sur l'appareil), soit une assistance téléphonique suffit.

À l'issue d'une semaine de fonctionnement, trois situations sont possibles :

Dans la situation A, l'installateur doit se déplacer 1 fois sur 2. Dans la situation B, l'installateur doit se déplacer 7 fois sur 10.

L'installateur sait par expérience que, à l'issue de chaque semaine de fonctionnement,

Partie A : L'appareil a été utilisé pendant une semaine.

On considère les évènements suivants :

On pourra construire un arbre pondéré que l'on complétera au fur et à mesure.

  1. Calculer la probabilité de l'événement T.

  2. Démontrer que, lorsqu'on se trouve dans la situation C, la probabilité que l'installateur se déplace est 0,9.

  3. On sait que l'installateur s'est déplacé. Déterminer la probabilité que l'on ait été dans la situation B.

Partie B : L'installateur devra effectuer la maintenance trois semaines de suite.

On admet que les évènements qui surviendront au cours de chacune de ces trois semaines sont indépendants.

  1. Quelle est la probabilité que l'installateur ait à effectuer exactement deux déplacements sur les trois semaines ?

    1. Donner la loi de probabilité associée au nombre de déplacements à effectuer sur les trois semaines.

    2. Montrer que l'espérance mathématique de cette loi vaut 1,8.

    3. Pour l'installateur, un déplacement revient à 300 € (l'assistance téléphonique ne lui coûte rien). L'installateur décide de proposer à son client un forfait pour trois semaines de maintenance.

      Déterminer le montant minimum de ce forfait afin que l'installateur puisse espérer rentrer dans ses frais.


Exercice 3 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La société MERCURE vend des machines agricoles. Suite à une restructuration en 1998 elle a pu relancer sa production et ses bénéfices annuels ont évolué comme  indiqué dans le tableau suivant :

Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rang de l'année : xi 0 1 2 3 4 5
Bénéfice en k€ : yi 64 75 100 113 125 127
    1. Construire le nuage de points associé à la série statistique xiyi dans un repère orthogonal.

      Les unités graphiques seront : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

    2. Donner les coordonnées du point moyen G du nuage (arrondir au dixième). Placer le point G dans le repère.

  1. En première approximation, on envisage de représenter le bénéfice y comme une fonction affine du rang x de l'année.

    1. Donner une équation de la droite d'ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).

    2. Tracer cette droite (D) dans le repère.

    3. Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec cette approximation?

  2. En observant le nuage de points, on envisage un deuxième modèle d'ajustement donné par y=fx avec fx=-2x2+23x+63.

    1. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle 06.

    2. Tracer la courbe représentative Cf de la fonction f dans le repère de la question 1.

    3. Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec ce deuxième modèle d'ajustement ?

  3. En réalité, le bénéfice en 2005 est en hausse de 0,9% par rapport à celui de 2004. Des deux ajustements envisagés dans les questions précédentes, quel est celui qui donnait la meilleure prévision pour le bénéfice en 2005 ?


Exercice 3 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique un et un seul de ces deux sports.
Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L'association n'accueille pas de nouveaux adhérents. Elle compte 800 adhérents.

Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d'envisager le modèle suivant :

En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.

On appelle Pn=anbn la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l'année 2003+n :

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

  2. Déterminer l'état initial .

    1. Déterminer la matrice de transition M associée au graphe. (Rappel M est la matrice telle que : Pn+1=Pn×M.)

    2. En admettant que, en 2005, 36,25% des adhérents sont inscrits au karaté et 63,75% des adhérents sont inscrits au judo, déterminer la répartition que le modèle envisagé permet de prévoir pour 2006. (Exprimer les résultats sous forme de pourcentages, puis donner les nombres d'adhérents correspondants.)

  3. Soit P=xy la matrice correspondant à l'état stable, c'est à dire telle que P×M=P.
    (Rappel : x et y sont des nombres réels tels que x+y=1.)

    1. Déterminer les nombres x et y.

    2. En déduire la limite de an quand n tend vers l'infini.
      Interpréter ce résultat.

  4. Dans la même ville, un club de judo accepte de nouveaux adhérents : chaque année le nombre de ses adhérents augmente de 10%. Le club comptait 405 adhérents en 2003. En utilisant une calculatrice, trouver en quelle année l'effectif de ce club sera pour la première fois supérieur à l'effectif de la section judo de l'association étudiée dans les questions précédentes ?


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a : Étude préliminaire

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction g définie et dérivable sur l'intervalle -3+.

x -3 -2 +
gx

-

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

2

  1. On note f la fonction définie sur l'intervalle -2+ par : fx=lngx.

    1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle -2+.

    2. Déterminer la limite de f en -2 et la limite de f en + ∞, puis donner le tableau de variations de f.

  2. Soit G la primitive de la fonction g sur l'intervalle -3+ qui est telle que : G-2=0.

    Démontrer que la fonction G admet un minimum en -2.

partie B :

Dans cette partie, la fonction g est la fonction définie sur l'intervalle -3+ par : gx=2-2x+3.

  1. En utilisant cette définition de la fonction g retrouver tous les renseignements donnés dans le tableau de variation de la partie A.

  2. Comme dans la première question de la partie A, on définit la fonction f par :
    pour tout x élément de l'intervalle -2+, fx=ln2-2x+3.

    Soit Cf la courbe représentative de cette fonction f relativement à un repère orthogonal. La courbe Cf est représentée sur la figure fournie en annexe.

    1. La courbe Cf admet-elle des asymptotes ? Justifier.
      Si oui, en donner des équations et les tracer sur la figure fournie en annexe.

    2. La courbe Cf coupe l'axe des abscisses en un point A. En utilisant l'expression de fx déterminer les coordonnées du point A et placer ce point sur la figure fournie en annexe.

    3. Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe Cf en son point d'abscisse (−1). Tracer la droite (T) sur la figure fournie en annexe.

  3. Comme dans la deuxième question de la partie A, on définit la fonction G par :
    G est la primitive sur l'intervalle -3+ de la fonction g:x2-2x+3 et G-2=0.

    Calculer Gx pour x réel de l'intervalle -3+.

ANNEXE : à compléter et à rendre avec la copie

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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