Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. On demande d'indiquer la réponse exacte en cochant sans justification la grille réponse à rendre avec la copie. Une bonne réponse rapporté 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point ; l'absence de réponse donne 0 point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée est 0.
Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle dont le tableau de variations est donné ci-dessous :
x | 0 | ||||||||||
Variations de f |
|
|
| 2 |
|
On désigne par C la courbe représentative de f.
Sur l'intervalle , l'équation
Sur l'intervalle , la fonction f admet pour maximum - 3 alors, pour tout réel x de l'intervalle , donc l'équation n'admet pas de solution dans .
Sur l'intervalle , la fonction f est continue et strictement croissante. , et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . l'équation admet une solution unique dans .
Sur l'intervalle , la fonction f est continue, strictement croissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation admet une solution unique dans .
Ainsi, sur l'intervalle , l'équation :
admet une seule solution
admet deux solutions
admet quatre solutions.
Sur l'intervalle la courbe C :
alors, la droite d'équation est asymptote à la courbe C.
alors, la courbe C admet pour asymptote la droite d'équation au voisinage de .
Ainsi, sur l'intervalle la courbe C :
admet une seule asymptote la droite d'équation
admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations et
admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations et .
On sait que . L'équation de la tangente à C au point d'abscisse 2 est :
et alors, l'équation de la tangente à C au point d'abscisse 2 est :
.
On sait que l'équation de la tangente à C au point de coordonnées est . On a :
Le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse 1 est égal au nombre dérivé donc
.
Sur l'intervalle , la fonction g définie par
D'après le théorème sur les variations des fonctions u et Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et ont les mêmes variations sur I., les fonctions g et ont les mêmes variations sur .
Or sur l'intervalle , la fonction f est décroissante, par conséquent la fonction est croissante. Donc sur l'intervalle , la fonction g
est croissante
est décroissante
n'est pas monotone.
On pose . Alors la fonction h :
Sur l'intervalle , la fonction f est décroissante et
Donc la la fonction h est définie sur .
D'après le théorème sur les variations des fonctions u et Les fonctions u et ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive., les fonctions h et ont les mêmes variations sur .
Ainsi, la fonction h
est décroissante sur
est positive sur
n'est pas définie sur .
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