Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : centres étrangers

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. On demande d'indiquer la réponse exacte en cochant sans justification la grille réponse à rendre avec la copie. Une bonne réponse rapporté 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point ; l'absence de réponse donne 0 point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée est 0.

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]-5;+[ dont le tableau de variations est donné ci-dessous :

x -5 -3 -2 0 +

Variations de f

   

-

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-3

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-5

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2

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-4,5

On désigne par C la courbe représentative de f.

  1. Sur l'intervalle ]-5;+[, l'équation f(x)=-2

    Sur l'intervalle ]-5;0] , la fonction f admet pour maximum - 3 alors, pour tout réel x de l'intervalle ]-5;0], f(x)-3 donc l'équation f(x)=-2 n'admet pas de solution dans ]-5;0].

    Sur l'intervalle [0;2], la fonction f est continue et strictement croissante. f(0)=-5, f(2)=4 et -2[-5;4] alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b]. l'équation f(x)=-2 admet une solution unique dans [0;2].

    Sur l'intervalle [2;+[, la fonction f est continue, strictement croissante et -2]-4,5;4] alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation f(x)=-2 admet une solution unique dans [2;+[.

    Ainsi, sur l'intervalle ]-5;+[, l'équation f(x)=-2 :

    • admet une seule solution

    • admet deux solutions


    • admet quatre solutions.


  2. Sur l'intervalle ]-5;+[ la courbe C :

    limx-5f(x)=- alors, la droite d'équation x=-5 est asymptote à la courbe C.

    limx+f(x)=-4,5 alors, la courbe C admet pour asymptote la droite d'équation y=-4,5 au voisinage de +.

    Ainsi, sur l'intervalle ]-5;+[ la courbe C :

    • admet une seule asymptote la droite d'équation x=-5

    • admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations x=-4,5 et y=-5

    • admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations y=-4,5 et x=-5.



  3. On sait que f(2)=0. L'équation de la tangente à C au point d'abscisse 2 est :

    f(2)=0 et f(2)=4 alors, l'équation de la tangente à C au point d'abscisse 2 est :

    • y=4


    • y=4(x-2)

    • x=4.


  4. On sait que l'équation de la tangente à C au point de coordonnées (1;2) est y=3x-1. On a :

    Le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse 1 est égal au nombre dérivé f(1) donc

    • f(2)=1

    • f(1)=-1

    • f(1)=3.



  5. Sur l'intervalle [2;+[, la fonction g définie par g(x)=e-f(x)

    D'après le théorème sur les variations des fonctions u et eu Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et eu ont les mêmes variations sur I., les fonctions g et -f ont les mêmes variations sur [2;+[.

    Or sur l'intervalle [2;+[ , la fonction f est décroissante, par conséquent la fonction -f est croissante. Donc sur l'intervalle [2;+[, la fonction g

    • est croissante


    • est décroissante

    • n'est pas monotone.


  6. On pose h(x)=ln(f(x)+5). Alors la fonction h :

    Sur l'intervalle [2;+[, la fonction f est décroissante et -4,5<f(x)<40,5<f(x)+5<9

    Donc la la fonction h est définie sur [2;+[.

    D'après le théorème sur les variations des fonctions u et lnu Les fonctions u et lnu ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive., les fonctions h et f+5 ont les mêmes variations sur [2;+[.

    Ainsi, la fonction h

    • est décroissante sur ]2;+[


    • est positive sur [2;+[

    • n'est pas définie sur [2;+[.


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