Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : centres étrangers

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les résultats seront arrondis à 10⁻² près
Le tableau ci-dessous donne le PIB de la Chine, en milliards de dollars, entre 1982 et 2002.

(*Source : Le Monde du 26/01/2004*)
Année	1982	1986	1990	1994	1998	2002
Rang $x_{i}$ de l'année	0	4	8	12	16	18
PIB $y_{i}$	280	300	384	546	945	1232

Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}; y_{i})$ dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 1 cm pour deux années sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 100 milliards de dollars sur l'axe des ordonnées.
1. Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
  
  L'équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés est obtenue à la calculatrice.
  
  La droite d'ajustement affine pour équation $y = 48,98 x + 124,71$ (les coefficients sont arrondis à 10⁻² près) .
2. Tracer cette droite sur le graphique.
3. Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul le PIB de la Chine en 2004. Commenter le résultat obtenu.
  
  Le rang de l'année 2004 est 22.
  
  Sur le graphique ci-dessus, l'ordonnée du point de la droite d'ajustement dont l'abscisse est égale à 22 est approximativement égale à 1200.
  
  Calculons à l'aide de l'équation de la droite d'ajustement affine une estimation du PIB en 2004 : $48,98 \times 22 + 124,71 = 1202,27$
  
  L'estimation du PIB pour 2004 est inférieure au PIB de 2002. L'ajustement affine ne traduit pas correctement la tendance observée d'un PIB en constante augmentation.
On envisage dans cette question un ajustement exponentiel.
En posant $z = \ln y$ on obtient une droite d'ajustement de z en x d'équation $z = 0,08 x + 5,46$
1. On se propose de déterminer alors y en fonction de x sous la forme $y = α e^{β x}$ où α et β sont deux réels.
  Montrer que $y = 235,10 e^{0,08 x}$ .
  
  Par définition, pour tout réel $y > 0$ $z = \ln y \Leftrightarrow y = e^{z}$ d'où $\begin{array}{l} y = e^{0,08 x + 5,46} & \Leftrightarrow & y = e^{0,08 x} \times e^{5,46} \end{array}$
  
  Or l'arrondi à 10⁻² près de $e^{5,46}$ est égal à 235,10.
  
  Ainsi, l'ajustement exponentiel du nuage est la courbe d'équation $y = 235,10 e^{0,08 x}$
2. Tracer sur le graphique la courbe d'équation $y = 235,10 e^{0,08 x}$ , pour $x \in [0; 24]$ .
3. Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul, le PIB de la Chine en 2004.
  
  Par lecture graphique, l'ordonnée du point de la courbe d'équation $y = 235,10 e^{0,08 x}$ dont l'abscisse est égale à 22 est approximativement égale à 1370.
  
  Calculons à l'aide de l'équation de la courbe une estimation du PIB en 2004 : $235,10 \times e^{0,08 \times 22} \approx 1366,504$
  
  Arrondie à 10⁻² près l'estimation du PIB en 2004 est de 1366,50 milliards de dollars.
Le PIB de la Chine pour 2004 était de 1 650 milliards de dollars (Source internet).
Calculer en pourcentage par rapport à la valeur réelle, les erreurs commises en prenant comme PIB les estimations obtenues aux questions 2 et 3.
- Erreur commise avec l'ajustement affine : $\frac{1650 - 1202,27}{1650} \times 100 \approx 27,135$
  
  Soit une erreur d'environ 27,14%.
- Erreur commise avec l'ajustement exponentiel : $(1 - \frac{1366,5}{1650}) \times 100 \approx 17,181$
  
  Soit une erreur d'environ 17,18%.

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