sujet : centres étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Établir que $p\left(M\right)=\mathrm{0,2}$ ; $p\left(F\right)=\mathrm{0,65}$ et $p\left(E\right)=\mathrm{0,15}$.

      • 85% des visiteurs visitent le fonds permanent alors, $p\left(F\right)+p\left(M\right)=\mathrm{0,85}$.
      • 35% des visiteurs visitent l'exposition temporaire alors, $p\left(E\right)+p\left(M\right)=\mathrm{0,35}$.

      D'autre part, $p\left(F\right)+p\left(E\right)+p\left(M\right)=1$ donc $p\left(F\right)$, $p\left(E\right)$ et $p\left(M\right)$ sont solutions du système :$$\begin{array}{lllll}\{\begin{array}{l}p\left(F\right)+p\left(M\right)=\mathrm{0,85}\\ p\left(E\right)+p\left(M\right)=\mathrm{0,35}\\ p\left(F\right)+p\left(E\right)+p\left(M\right)=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}p\left(F\right)+p\left(M\right)=\mathrm{0,85}\\ p\left(E\right)+p\left(M\right)=\mathrm{0,35}\\ p\left(M\right)=\mathrm{0,2}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}p\left(F\right)=\mathrm{0,65}\\ p\left(E\right)=\mathrm{0,15}\\ p\left(M\right)=\mathrm{0,2}\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, $p\left(M\right)=\mathrm{0,2}$ ; $p\left(F\right)=\mathrm{0,65}$ et $p\left(E\right)=\mathrm{0,15}$.

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   2. Calculer le prix de vente moyen d'un billet.

      La loi de probabilité associée au prix de vente des billets est

      montant $x_i$	3	5	6
      $p_i$	0,15	0,65	0,2

      L'espérance mathématique de cette loi est $\mu =3\times \mathrm{0,15}+5\times \mathrm{0,65}=6\times \mathrm{0,2}=\mathrm{4,9}$.

      Le prix de vente moyen d'un billet est de 4,9 €.

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   Le musée propose à la vente un catalogue sur l'exposition temporaire. On sait que :

   • 35% des personnes qui ne visitent que l'exposition temporaire achètent le catalogue.
   • 25% des personnes qui visitent le fonds permanent et l'exposition temporaire achètent le catalogue.
   • 97% des visiteurs du seul fonds permanent n'achètent pas le catalogue.

   On considère l'évènement C : « Le visiteur achète le catalogue »

2. Démontrer que $p\left(C\right)=\mathrm{0,122}$ (on pourra s'aider d'un arbre).

   E, F et M forment une partition alors , d'après la formule des probabilités totales : $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$ $$p\left(C\right)=p\left(C\cap E\right)+p\left(C\cap F\right)+p\left(C\cap M\right)$$

   Par hypothèse nous avons : $p_E\left(C\right)=\mathrm{0,35}$, $p_M\left(C\right)=\mathrm{0,25}$ et $p_F\left(\overline{C}\right)=\mathrm{0,97}$ d'où $p_F\left(C\right)=1-\mathrm{0,97}=\mathrm{0,03}$.

   Par conséquent, $$\begin{array}{lllllll}p\left(C\cap E\right)& =& p_E\left(C\right)\times p\left(E\right)& =& \mathrm{0,35}\times \mathrm{0,15}& =& \mathrm{0,0525}\\ p\left(C\cap F\right)& =& p_F\left(C\right)\times p\left(F\right)& =& \mathrm{0,03}\times \mathrm{0,65}& =& \mathrm{0,0195}\\ p\left(C\cap M\right)& =& p_M\left(C\right)\times p\left(M\right)& =& \mathrm{0,25}\times \mathrm{0,2}& =& \mathrm{0,05}\end{array}$$

   Donc $p\left(C\right)=\mathrm{0,0525}+\mathrm{0,0195}+\mathrm{0,05}=\mathrm{0,122}$.

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3. Un visiteur a acheté le catalogue. Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas visité l'exposition temporaire ?

   Il s'agit de calculer la probabilité qu'un visiteur a acheté un billet à 5 €, sachant qu'il a acheté le catalogue :$$\begin{array}{lll}{p}_C\left(F\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(C\cap F\right)}{p\left(C\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,0195}}{\mathrm{0,122}}}\end{array}$$

   Arrondie à 10^-3 près, la probabilité qu'un visiteur n'ait pas visité l'exposition temporaire sachant qu'il a acheté un catalogue est égale à 0,160.

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4. Quelle est la probabilité que, parmi trois visiteurs du musée venus indépendamment les uns des autres, au moins un n'ait pas acheté le catalogue ?

   Interroger au hasard et de façon indépendante trois visiteurs du musée pour savoir s'ils ont acheté un catalogue, est la répétition de trois épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de visiteurs qui ont acheté un catalogue est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,122.

   L'évènement "au moins un des trois visiteurs n'a pas acheté le catalogue" est l'évènement contraire de l'évènement "les trois visiteurs ont acheté le catalogue".

   Or la probabilité d'obtenir trois succès consécutifs est égale à : ${p\left(C\right)}^3={\mathrm{0,122}}^3$.

   La probabilité qu'au moins un des visiteurs n'ait pas acheté le catalogue est donc : $1-{\mathrm{0,122}}^3$

   Arrondie au millième, la probabilité que, parmi trois visiteurs du musée venus indépendamment les uns des autres, au moins un n'ait pas acheté le catalogue est égale à 0,998.

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