Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : centres étrangers

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On désigne par f la fonction définie sur $] 0; 5]$ par $f (x) = 1 - x + 2 \ln x$

La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthogonal (unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonnées).

Calculer la limite de f en 0.
Calculer $f' (x)$ et étudier les variations de f.
Dresser le tableau des variations de f.
1. Calculer $f (1)$ .
2. Justifier que l'équation $f (x) = 0$ admet sur $[3; 4]$ une solution unique $α$ puis donner une valeur approchée à 10^-2 près par défaut de $α$ .
3. En déduire le signe de $f (x)$ suivant les valeurs de x.
On appelle g la fonction définie sur $] 0; 5]$ par $g (x) = x (- \frac{1}{2} x + 2 \ln x - 1)$
1. Montrer que g est une primitive de f sur $] 0; 5]$ .
  
  Dire que g est une primitive de la fonction f sur $] 0; 5]$ signifie que pour tout réel x de $] 0; 5]$ $g' (x) = f (x)$ .
2. Sur le graphique ci-dessous, on considère le domaine limité par l'axe des abscisses et la partie de la courbe C située au-dessus de cet axe. Montrer que l'aire de ce domaine est égale en unités d'aire, à $g (α) - g (1)$ .
3. Calculer une valeur approchée de l'aire A exprimée en cm². On utilisera la valeur approchée de α trouvée au 3. b.

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