Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

La courbe (Cf) de la figure 1 est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-4;+[.
On donne les renseignements suivants :

  • les points A(-3;0), B(-2;e2) et C(0;3) sont des points de la courbe (Cf) ;
  • l'axe des abscisses est asymptote à la courbe (Cf) en + ;
  • la fonction f est décroissante sur l'intervalle [-2;+[ ;
  • la droite tangente à la courbe (Cf) en son point C passe par le point D(2;-1).

On note f la fonction dérivée de la fonction f.

Figure 1

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse à l'aide des renseignements ci-dessus ou du graphique.

  1. La limite de la fonction f en + est 1.

    L'axe des abscisses est asymptote à la courbe Cf au voisinage de + par conséquent :

    limx+f(x)=0. L'affirmation 1 est fausse.


  2. f(0)=-12.

    Le nombre dérivé f(0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C(0;3) .

    Or la tangente à la courbe Cf au point C d'abscisse 0 passe par le point D(2;-1) .

    Donc : f(0)=3-(-1)0-2=-2

    Soit f(0)=-2 . L'affirmation 2 est fausse.


  3. Pour tout x élément de l'intervalle [-2;+[, on a : f(x)0.

    La fonction f est décroissante sur l'intervalle [-2;+[ alors, pour tout x élément de l'intervalle [-2;+[, on a : f(x)0.

    L'affirmation 3 est vraie.


  4. Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [-4;+[, alors la fonction F est décroissante sur l'intervalle [-2;+[.

    Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [-4;+[ signifie que pour tout réel x de l'intervalle [-4;+[, F(x)=f(x).

    Ainsi, les variations de la fonction F se déduisent du signe de la fonction f.

    Sur l'intervalle [-2;+[ la courbe Cf est au dessus de l'axe des abscisses donc pour tout x élément de l'intervalle [-2;+[, on a : f(x)>0.

    La fonction F est croissante sur l'intervalle [-2;+[. L'affirmation 4 est fausse.


  5. -20f(x)dx<15.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    L'aire, en unités d'aire, du domaine colorié compris entre la courbe Cf la droite d'équation y=-2, l'axe des ordonnées et l'axe des abscisses est égale à l'intégrale -20f(x)dx.

    Or l'aire de ce domaine est inférieure à l'aire du rectangle OMBN dont l'aire en unités d'aire est : OM×ON=2e214,778

    Donc -20f(x)dx<15. L'affirmation 5 est vraie.



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