La courbe de la figure 1 est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle .
On donne les renseignements suivants :
On note la fonction dérivée de la fonction f.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse à l'aide des renseignements ci-dessus ou du graphique.
La limite de la fonction f en est 1.
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe au voisinage de par conséquent :
. L'affirmation 1 est fausse.
.
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point .
Or la tangente à la courbe au point C d'abscisse 0 passe par le point .
Donc :
Soit . L'affirmation 2 est fausse.
Pour tout x élément de l'intervalle , on a : .
La fonction f est décroissante sur l'intervalle alors, pour tout x élément de l'intervalle , on a : .
L'affirmation 3 est vraie.
Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle , alors la fonction F est décroissante sur l'intervalle .
Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle signifie que pour tout réel x de l'intervalle , .
Ainsi, les variations de la fonction F se déduisent du signe de la fonction f.
Sur l'intervalle la courbe est au dessus de l'axe des abscisses donc pour tout x élément de l'intervalle , on a : .
La fonction F est croissante sur l'intervalle . L'affirmation 4 est fausse.
.
L'aire, en unités d'aire, du domaine colorié compris entre la courbe la droite d'équation , l'axe des ordonnées et l'axe des abscisses est égale à l'intégrale .
Or l'aire de ce domaine est inférieure à l'aire du rectangle OMBN dont l'aire en unités d'aire est :
Donc . L'affirmation 5 est vraie.
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