sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a : Étude préliminaire

1. On note f la fonction définie sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=\ln \left(g\left(x\right)\right)$.

   1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, $g\left(x\right)>0$.

      Or la fonction f est la composée de la fonction g suivie de la fonction ln.

      D'après le théorème sur le sens de variation de ln u, Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive. les fonctions f et g ont les mêmes variations sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ .
      Comme g est strictement croissante sur cet intervalle :

      La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

      ---

   2. Déterminer la limite de f en $\left(-2\right)$ et la limite de f en $+\infty$, puis donner le tableau de variations de f.

      $\underset{x\to -2}{\lim }g\left(x\right)=0$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ alors, $\underset{x\to -2}{\lim }\ln \left(g\left(x\right)\right)=-\infty$

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=2$ et $\underset{x\to 2}{\lim }\ln x=\ln 2$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(g\left(x\right)\right)=\ln 2$

      $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ln 2$.

      ---

      D'où le tableau de variation de f :

      x	−2				$+\infty$
      Variations de f			$-\infty$		$\ln 2$

      ---

2. Soit G la primitive de la fonction g sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$ qui est telle que : $G\left(-2\right)=0$.
   Démontrer que la fonction G admet un minimum en $\left(-2\right)$.

   Dire que G est la primitive de la fonction g sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$.

   Le tableau de variations de la fonction g permet d'établir le signe de g puis d'en déduire les variations de la fonction G.

   x	−3				−2		$+\infty$
   Signe de g				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Variations de G					$G\left(-2\right)=0$

   ---

   Il en résulte que la fonction G est strictement décroissante sur $\left]-3;-2\right]$ et strictement croissante sur $\left]-2;+\infty \right[$.

   La fonction G admet un minimum en $\left(-2\right)$.

   ---

partie B :

Dans cette partie, la fonction g est la fonction définie sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$ par : $g\left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}$.

1. En utilisant cette définition de la fonction g retrouver tous les renseignements donnés dans le tableau de variation de la partie A.

   • Limites aux bornes de l'intervalle de définition

     $\underset{x\to {-3}^{+}}{\lim }x+3=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ alors, $\underset{x\to {-3}^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x+3}}=+\infty$ d'où $\underset{x\to {-3}^{+}}{\lim }2-{\displaystyle \frac{1}{x+3}}=-\infty$.

     $\underset{x\to +\infty }{\lim }x+3=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x+3}}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }2-{\displaystyle \frac{1}{x+3}}=2$.

     Ainsi, $\underset{x\to {-3}^{+}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=2$

     ---

   • Sens de variation

     Sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$, la fonction affine $u:x\to x+3$ est dérivable et ne s'annule pas. Alors la fonction $h:x\to {\displaystyle \frac{1}{x+3}}$ est dérivable sur $\left]-3;+\infty \right[$ et sa dérivée est donnée par : $$h\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{{\left(x+3\right)}^2}}$$

     Ainsi, la fonction g est dérivable sur $\left]-3;+\infty \right[$ et sa dérivée est la fonction définie sur $\left]-3;+\infty \right[$ par : $$g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{{\left(x+3\right)}^2}}$$

     Or pour tout réel $x\ne 0$, ${\displaystyle \frac{2}{{\left(x+3\right)}^2}}>0$. Donc

     Sur $\left]-3;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)>0$ alors la fonction g est strictement croissante sur cet intervalle.

     ---

   • Calcul de $g\left(-2\right)$

     $g\left(-2\right)=2-{\displaystyle \frac{2}{-2+3}}=0$

     Donc $g\left(-2\right)=0$

     ---

2. Comme dans la première question de la partie A, on définit la fonction f par :
   pour tout x élément de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=\ln \left(2-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}\right)$.

   Soit $\left(C_f\right)$ la courbe représentative de cette fonction f relativement à un repère orthogonal. La courbe $\left(C_f\right)$ est représentée sur la figure ci-dessous.

   1. La courbe $\left(C_f\right)$ admet-elle des asymptotes ? Justifier.
      Si oui, en donner des équations et les tracer sur la figure fournie en annexe.

      D'après l'étude faite dans la partie A :

      − $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ alors la courbe $\left(C_f\right)$ admet pour asymptote la droite d'équation $x=-2$.
      − $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ln 2$ alors la courbe $\left(C_f\right)$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=\ln 2$ au voisinage de $+\infty$.

      ---

   2. La courbe $\left(C_f\right)$ coupe l'axe des abscisses en un point A. En utilisant l'expression de $f\left(x\right)$ déterminer les coordonnées du point A et placer ce point sur la figure fournie en annexe.

      L'abscisse du point A est solution de l'équation $$\begin{array}{lll}\ln \left(2-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}\right)=0& \iff & \ln \left(2-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}\right)=\ln 1\\ & \iff & 2-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}=1\\ & \iff & 1-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x+3-2}{x+3}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x+1}{x+3}}=0\\ & \iff & x+1=0\\ & \iff & x=-1\end{array}$$

      Les coordonnées du point A sont $A\left(-1;0\right)$.

      ---

   3. Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ en son point d'abscisse (−1). Tracer la droite (T) sur la figure fournie en annexe.

      Une équation de la tangente (T) à la courbe $\left(C_f\right)$ en son point d'abscisse (−1) est :$$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)& \text{ soit }& y=f\prime \left(-1\right)\left(x+1\right)\end{array}$$

      Calcul du nombre dérivé $f\prime \left(-1\right)$

      f est la fonction composée g suivie de la fonction ln $f=\ln g$.

      Or la fonction g est dérivable et strictement positive sur $\left]-3;+\infty \right[$ et sa dérivée est la fonction définie sur $\left]-3;+\infty \right[$ par : $$g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{{\left(x+3\right)}^2}}$$

      D'après le théorème sur la dérivée de ln u , Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $\ln \left(u\right)$ est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$. f est dérivable sur $\left]-3;+\infty \right[$ et $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\prime \left(x\right)}{g\left(x\right)}}$

      Soit pour tout x appartenant à l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{{\left(x+3\right)}^2}}}{2-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{{\left(x+3\right)}^2}}\times {\displaystyle \frac{x+3}{2\left(x+3\right)-2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}}\end{array}$$

      D'où $f\prime \left(-1\right)={\displaystyle \frac{1}{\left(-1+3\right)\left(-1+2\right)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

      Ainsi, une équation de la tangente (T) est $y={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x+1\right)$

      La tangente (T) à la courbe $\left(C_f\right)$ en son point d'abscisse (−1) a pour équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

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3. Comme dans la deuxième question de la partie A, on définit la fonction G par :
   G est la primitive sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$ de la fonction $g:x\to 2-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}$ et $G\left(-2\right)=0$.

   Calculer $G\left(x\right)$ pour x réel de l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$.

   La fonction $h:x\to {\displaystyle \frac{1}{x+3}}$ se présente sous la forme ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec $u\left(x\right)=x+3$

   Or pour tout réel x de l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$, ${\displaystyle \frac{1}{x+3}}>0$.

   Donc une primitive de la fonction h sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$ est la fonction $x\to \ln \left(x+3\right)$.

   Les primitives sur $\left]-3;+\infty \right[$ de la fonction $g:x\to 2-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}$ sont les fonctions G telles que : $$G\left(x\right)=2x-2\ln \left(x+3\right)+c$$ où c est une constante réelle quelconque.

   Dire que $G\left(-2\right)=0$ revient à : $$\begin{array}{lll}2\times \left(-2\right)-2\ln \left(\left(-2\right)+3\right)+c=0& \iff & -4-2\ln 1+c=0\\ & \iff & c=4\end{array}$$

   La primitive cherchée est la fonction définie sur $\left]-3;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=2x-2\ln \left(x+3\right)+4$.

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