sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal.
      Les unités graphiques seront : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

   2. Donner les coordonnées du point moyen G du nuage (arrondir au dixième). Placer le point G dans le repère.

      Les coordonnées du point moyen sont : $$\begin{array}{ccc}\overline{x}={\displaystyle \frac{0+1+2+3+4+5}{6}}=\mathrm{2,5}& \text{et}& \overline{y}={\displaystyle \frac{64+75+100+113+125+127}{6}}={\displaystyle \frac{302}{3}}\end{array}$$

      Le point moyen G a pour coordonnées arrondies au dixième $G\left(\mathrm{2,5};\mathrm{100,7}\right)$

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2. En première approximation, on envisage de représenter le bénéfice y comme une fonction affine du rang x de l'année.

   1. Donner une équation de la droite d'ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).

      Une équation de la droite d'ajustement (D) de y en x par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis au centième) obtenue à la calculatrice est : $y=\mathrm{13,66}x+\mathrm{66,52}$

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   2. Tracer cette droite (D) dans le repère.

   3. Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec cette approximation ?

      Le rang de l'année 2005 est 6 d'où une prévision de : $$\mathrm{13,66}\times 6+\mathrm{66,52}=\mathrm{148,48}$$

      Avec cette approximation le bénéfice en 2005 serait de 148,48 k€.

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3. En observant le nuage de points, on envisage un deuxième modèle d'ajustement donné par $y=f\left(x\right)$ avec $f\left(x\right)=-2x^2+23x+63$.

   1. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

      f est la restriction à l'intervalle $\left[0;6\right]$ d'une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est négatif.

      f admet un maximum pour $$\begin{array}{lll}x={\displaystyle \frac{-23}{2\times \left(-2\right)}}=\mathrm{5,75}& \text{ et }& f\left(\mathrm{5,75}\right)=-2\times {\mathrm{5,75}}^2+23\times \mathrm{5,75}+63=\mathrm{129,125}\end{array}$$

      Le tableau des variations de f est :

      x	0		5,75		6
      Variations de f			129,125

      ---

   2. Tracer la courbe représentative $\left(C_f\right)$ de la fonction f dans le repère de la question 1.

   3. Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec ce deuxième modèle d'ajustement ?

      $f\left(6\right)=-2\times 6^2+23\times 6+63=129$

      Avec cet ajustement, en 2005 le bénéfice serait de 129 k€.

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4. En réalité, le bénéfice en 2005 est en hausse de 0,9% par rapport à celui de 2004. Des deux ajustements envisagés dans les questions précédentes, quel est celui qui donnait la meilleure prévision pour le bénéfice en 2005 ?

   Le montant réel en k€ du bénéfice en 2005 est : $$127\times \mathrm{1,009}=\mathrm{128,143}$$

   C'est l'ajustement à l'aide de la fonction f qui donne la meilleure prévision pour 2005.

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