sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Partie A : L'appareil a été utilisé pendant une semaine.

On considère les évènements suivants :

• A : «On se trouve dans la situation A »
• B : «On se trouve dans la situation B »
• C : «On se trouve dans la situation C »
• S : « L'installateur se déplace »
• T : « L'installateur effectue une assistance téléphonique ».

On pourra construire un arbre pondéré que l'on complétera au fur et à mesure.

1. Calculer la probabilité de l'événement T.

   Pour la maintenance, soit l'installateur se déplace soit une assistance téléphonique suffit donc $$\begin{array}{lll}p\left(S\right)+p\left(T\right)=1& \iff & p\left(T\right)=1-p\left(S\right)\\ & \iff & p\left(T\right)=1-\mathrm{0,6}\\ & \iff & p\left(T\right)=\mathrm{0,4}\end{array}$$

   La probabilité de l'événement T est $p\left(T\right)=\mathrm{0,4}$.

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2. Démontrer que, lorsqu'on se trouve dans la situation C, la probabilité que l'installateur se déplace est 0,9.

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de S sachant C. $p_C\left(S\right)={\displaystyle \frac{p\left(S\cap C\right)}{p\left(C\right)}}$

   Or $$\begin{array}{lll}p\left(A\right)+p\left(B\right)+p\left(C\right)=1& \iff & p\left(C\right)=1-p\left(A\right)-p\left(B\right)\\ & \iff & p\left(C\right)=1-\mathrm{0,6}-\mathrm{0,3}\\ & \iff & p\left(C\right)=\mathrm{0,1}\end{array}$$

   Il reste à calculer $p\left(S\cap C\right)$

   Il n'y a que trois situations possibles, les événements A, B et C forment une partition. D'après la formule des probabilités totales : $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$ $$p\left(S\right)=p\left(S\cap A\right)+p\left(S\cap B\right)+p\left(S\cap C\right)$$

   D'où $$p\left(S\cap C\right)=p\left(S\right)-p\left(S\cap A\right)-p\left(S\cap B\right)$$

   Or $$\begin{array}{lllllll}p\left(S\cap A\right)& =& p_A\left(S\right)\times p\left(A\right)& \text{et}& p\left(S\cap B\right)& =& p_B\left(S\right)\times p\left(B\right)\\ & =& \mathrm{0,5}\times \mathrm{0,6}& & & =& \mathrm{0,7}\times \mathrm{0,3}\\ & =& \mathrm{0,3}& & & =& \mathrm{0,21}\end{array}$$

   Ainsi, $$\begin{array}{lll}p\left(S\cap C\right)& =& p\left(S\right)-p\left(S\cap A\right)-p\left(S\cap B\right)\\ & =& \mathrm{0,6}-\mathrm{0,3}-\mathrm{0,21}\\ & =& \mathrm{0,09}\end{array}$$

   Donc $$\begin{array}{lll}{p}_C\left(S\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(S\cap C\right)}{p\left(C\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}}{\mathrm{0,1}}}\\ & =& \mathrm{0,9}\end{array}$$

   Lorsqu'on se trouve dans la situation C, la probabilité que l'installateur se déplace est $p_C\left(S\right)=\mathrm{0,9}$.

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3. On sait que l'installateur s'est déplacé. Déterminer la probabilité que l'on ait été dans la situation B.

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de B sachant S : $$\begin{array}{lll}{p}_S\left(B\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(S\cap B\right)}{p\left(S\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,21}}{\mathrm{0,6}}}\\ & =& \mathrm{0,35}\end{array}$$

   La probabilité que l'on ait été dans la situation B sachant que l'installateur s'est déplacé est $p_S\left(B\right)=\mathrm{0,35}$.

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Partie B : L'installateur devra effectuer la maintenance trois semaines de suite.

On admet que les évènements qui surviendront au cours de chacune de ces trois semaines sont indépendants.

1. Quelle est la probabilité que l'installateur ait à effectuer exactement deux déplacements sur les trois semaines ?

   On peut modéliser la maintenance sur trois semaines comme la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de succès l'évènement "l'installateur a effectué un déplacement". On construit un arbre pondéré qui donne toutes les listes de succès et d'échecs à la fin des trois épreuves.

   L'évènement "l'installateur a effectué exactement deux déplacements" est formé des listes $\left\{S,S,T\right\};\left\{S,T,S\right\};\left\{T,S,S\right\}$ . Chemins en rouge sur l'arbre ci-dessus.

   Les évènements correspondants à ces trois chemins ont la même probabilité : ${\mathrm{0,6}}^2\times \mathrm{0,4}$

   La probabilité cherchée est égale à la somme des trois probabilités c'est à dire : $3\times {\mathrm{0,6}}^2\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,432}$

   La probabilité que l'installateur ait à effectuer exactement deux déplacements sur les trois semaines est égale à 0,432.

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2. 1. Donner la loi de probabilité associée au nombre de déplacements à effectuer sur les trois semaines.

      La loi de probabilité associée au nombre de déplacements à effectuer sur les trois semaines est une loi binomiale de paramètres $ℬ\left(3;\mathrm{0,6}\right)$ :

      Nombre de déplacements	0	1	2	3
      Probabilité	${\mathrm{0,4}}^3=\mathrm{0,064}$	$3\times \mathrm{0,6}\times {\mathrm{0,4}}^2=\mathrm{0,288}$	0,432	${\mathrm{0,6}}^3=\mathrm{0,216}$

   2. Montrer que l'espérance mathématique de cette loi vaut 1,8.

      L'espérance mathématique $\mu$ de cette loi est d'après la définition : Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$

      $$\mu =0\times \mathrm{0,064}+1\times \mathrm{0,288}+2\times \mathrm{0,432}+3\times \mathrm{0,216}=\mathrm{1,8}$$

      L'espérance mathématique de la loi binomiale $ℬ\left(3;\mathrm{0,6}\right)$ vaut 1,8. $\left(3\times \mathrm{0,6}=\mathrm{1,8}\right)$

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   3. Pour l'installateur, un déplacement revient à 300 € (l'assistance téléphonique ne lui coûte rien). L'installateur décide de proposer à son client un forfait pour trois semaines de maintenance.
      Déterminer le montant minimum de ce forfait afin que l'installateur puisse espérer rentrer dans ses frais.

      Sur un grand nombre de clients, l'installateur effctue en moyenne 1,8 déplacements sur les trois semaines.
      Le montant minimum du forfait est donc : $300\times \mathrm{1,8}=540$

      Pour que l'installateur puisse espérer rentrer dans ses frais, le montant minimum du forfait est de 540 €.

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