Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique un et un seul de ces deux sports.
Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L'association n'accueille pas de nouveaux adhérents. Elle compte 800 adhérents.

Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d'envisager le modèle suivant :

  • 70% des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,
  • 20% des adhérents qui étaient inscrits au judo s'inscrivent au karaté.

En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.

On appelle Pn=(anbn) la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l'année 2003+n :

  • an représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l'année 2003+n
  • bn représente la proportion des adhérents inscrits au judo l'année 2003+n
  • an+bn=1.
  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

    Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant être dans l'état A (inscrit au karaté) ou l'état B (inscrit au judo).

    D'une année sur l'autre :

    • 70% des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté, donc la probabilité de rester dans l'état A est pan(an+1)=0,70 et la probabilté de passer de l'état A à l'état B est pan(bn+1)=0,30.
    • 20% des adhérents qui étaient inscrits au judo s'inscrivent au karaté donc la probabilité de passer de l'état B à l'état A est pbn(an+1)=0,20 et la probabilté de rester dans l'état B est pbn(bn+1)=0,80.

    Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

  2. Déterminer l'état initial.

    En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo. Donc a0=200800=0,25 et b0=600800=0,75

    l'état initial est P0=(0,250,75).


    1. Déterminer la matrice de transition M associée au graphe. (Rappel M est la matrice telle que : Pn+1=Pn×M.)

      La matrice de transition M de ce graphe est d'après la définition, Étant donné un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, sa matrice de transition est la matrice carrée M d'ordre n dont le coefficient aij a pour valeur le poids de l'arête allant du sommet i au sommet j si cette arête existe, 0 sinon.

      M=(0,70,30,20,8).


    2. En admettant que, en 2005, 36,25% des adhérents sont inscrits au karaté et 63,75% des adhérents sont inscrits au judo, déterminer la répartition que le modèle envisagé permet de prévoir pour 2006. (Exprimer les résultats sous forme de pourcentages, puis donner les nombres d'adhérents correspondants.)

      Le rang de l'année 2005 est 2 donc l'état P2=(0,36250,6375) d'où P3=P2×M=(0,36250,6375)×(0,70,30,20,8)=(0,3625×0,7+0,6375×0,20,3625×0,3+0,6375×0,8)=(0,381250,61875)

      Soit en nombre d'adhérents 800×(0,381250,61875)=(305495)

      En 2006, 38,125% des adhérents seront inscrits au karaté 61,875% des adhérents seront inscrits au judo.
      Soit 305 adhérents inscrits dans la section karaté et 495 inscrits dans la section judo.


  3. Soit P=(xy) la matrice correspondant à l'état stable, c'est à dire telle que P×M=P.
    (Rappel : x et y sont des nombres réels tels que x+y=1.)

    1. Déterminer les nombres x et y.

      P=P×M(xy)=(xy)×(0,70,30,20,8)(xy)=(0,7x+0,2y0,3x+0,8y)

      Soit {x=0,7x+0,2yy=0,3x+0,8y{0,3x-0,2y=0-0,3x+0,2y=0

      D'autre part, x+y=1 donc x et y sont les solutions du système {0,3x-0,2y=0x+y=1{0,5x=0,2x+y=1{x=25y=35

      Ainsi x=0,4 et y=0,6 et l'état stable est P=(0,40,6).


    2. En déduire la limite de an quand n tend vers l'infini.
      Interpréter ce résultat.

      D'après la question précédente P est l'état stable du système. (Voir le théorème) Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
      —  l'état Pn à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P0 ;
      —  de plus, P est l'unique solution de l'équation X=X×MX=(xy) avec x+y= 1 .

      Par conséquent, indépendamment de l'état initial, l'état Pn converge vers l'état P.

      Donc limn+an=0,4 . À long terme d'une année sur l'autre, les effectifs se stabiliseront à respectivement 320 inscrits en karaté et 480 inscrits en judo.


  4. Dans la même ville, un club de judo accepte de nouveaux adhérents : chaque année le nombre de ses adhérents augmente de 10%. Le club comptait 405 adhérents en 2003. En utilisant une calculatrice, trouver en quelle année l'effectif de ce club sera pour la première fois supérieur à l'effectif de la section judo de l'association étudiée dans les questions précédentes ?

    Notons Cn le nombre d'adhérents du club l'année 2003+n.

    Chaque année le nombre d'adhérents du club augmente de 10% alors, Cn+1=1,1×Cn.

    La suite (Cn) est donc une suite géométrique de raison 1,1. Le terme initial de cette suite est C0=405 donc le nombre d'adhérents de ce club l'année 2003+n est :Cn=405×1,1n

    Or le nombre d'adhérents de l'association respectivement inscrits au karaté et au judo l'année 2003+n est :(AnBn)=(200600)×(0,70,30,20,8)n

    Dans le tableau ci-dessous figurent les résultats des calculs des effectifs du club de judo ainsi que ceux des sections de karaté et de judo des adhérents de l'association :

    Année 2003 2004 2005 2006
    Rang n de l'année 0 1 2 3
    Effectif du club de judo (arrondi à l'entier) Cn=405×1,1n 405 446 490 539
    Répartition au sein de l'association des inscrits au karaté et au judo (AnBn)=(200600)×(0,70,30,20,8)n (200600) (260540) (290510) (305495)

    C'est en 2006 que l'effectif du club de judo sera pour la première fois supérieur à l'effectif de la section judo de l'association.



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