sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

   Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant être dans l'état A (inscrit au karaté) ou l'état B (inscrit au judo).

   D'une année sur l'autre :

   • 70% des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté, donc la probabilité de rester dans l'état A est $p_{a_n}\left(a_{n+1}\right)=\mathrm{0,70}$ et la probabilté de passer de l'état A à l'état B est $p_{a_n}\left(b_{n+1}\right)=\mathrm{0,30}$.
   • 20% des adhérents qui étaient inscrits au judo s'inscrivent au karaté donc la probabilité de passer de l'état B à l'état A est $p_{b_n}\left(a_{n+1}\right)=\mathrm{0,20}$ et la probabilté de rester dans l'état B est $p_{b_n}\left(b_{n+1}\right)=\mathrm{0,80}$.

   Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :

   ---

2. Déterminer l'état initial.

   En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo. Donc $$\begin{array}{lll}{a}_0={\displaystyle \frac{200}{800}}=\mathrm{0,25}& \text{ et }& b_0={\displaystyle \frac{600}{800}}=\mathrm{0,75}\end{array}$$

   l'état initial est $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}\end{array}\right)$.

   ---

3. 1. Déterminer la matrice de transition M associée au graphe. (Rappel M est la matrice telle que : $P_{n+1}=P_n\times M$.)

      La matrice de transition M de ce graphe est d'après la définition, Étant donné un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, sa matrice de transition est la matrice carrée M d'ordre n dont le coefficient $a_{ij}$ a pour valeur le poids de l'arête allant du sommet i au sommet j si cette arête existe, 0 sinon.

      $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$.

      ---

   2. En admettant que, en 2005, 36,25% des adhérents sont inscrits au karaté et 63,75% des adhérents sont inscrits au judo, déterminer la répartition que le modèle envisagé permet de prévoir pour 2006. (Exprimer les résultats sous forme de pourcentages, puis donner les nombres d'adhérents correspondants.)

      Le rang de l'année 2005 est 2 donc l'état $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3625}& \mathrm{0,6375}\end{array}\right)$ d'où $$\begin{array}{lll}{P}_3& =& P_2\times M\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3625}& \mathrm{0,6375}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3625}\times \mathrm{0,7}+\mathrm{0,6375}\times \mathrm{0,2}& \mathrm{0,3625}\times \mathrm{0,3}+\mathrm{0,6375}\times \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,38125}& \mathrm{0,61875}\end{array}\right)\end{array}$$

      Soit en nombre d'adhérents $800\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,38125}& \mathrm{0,61875}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}305& 495\end{array}\right)$

      En 2006, 38,125% des adhérents seront inscrits au karaté 61,875% des adhérents seront inscrits au judo.
      Soit 305 adhérents inscrits dans la section karaté et 495 inscrits dans la section judo.

      ---

4. Soit $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ la matrice correspondant à l'état stable, c'est à dire telle que $P\times M=P$.
   (Rappel : x et y sont des nombres réels tels que $x+y=1$.)

   1. Déterminer les nombres x et y.

      $\begin{array}{lll}P=P\times M& \iff & \left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\\ & \iff & \left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,2}y& \mathrm{0,3}x+\mathrm{0,8}y\end{array}\right)\end{array}$

      Soit $\{\begin{array}{ccc}x& =& \mathrm{0,7}x+\mathrm{0,2}y\\ y& =& \mathrm{0,3}x+\mathrm{0,8}y\end{array}\iff \{\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,2}y& =& 0\\ -\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,2}y& =& 0\end{array}$

      D'autre part, $x+y=1$ donc x et y sont les solutions du système $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rll}\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,2}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{ccc}\mathrm{0,5}x& =& \mathrm{0,2}\\ x+y& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{ccc}x& =& {\displaystyle \frac{2}{5}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\end{array}$$

      Ainsi $x=\mathrm{0,4}$ et $y=\mathrm{0,6}$ et l'état stable est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

      ---

   2. En déduire la limite de $a_n$ quand n tend vers l'infini.
      Interpréter ce résultat.

      D'après la question précédente P est l'état stable du système. (Voir le théorème) Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
      —  l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
      —  de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$.

      Par conséquent, indépendamment de l'état initial, l'état $P_n$ converge vers l'état P.

      Donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\mathrm{0,4}$ . À long terme d'une année sur l'autre, les effectifs se stabiliseront à respectivement 320 inscrits en karaté et 480 inscrits en judo.

      ---

5. Dans la même ville, un club de judo accepte de nouveaux adhérents : chaque année le nombre de ses adhérents augmente de 10%. Le club comptait 405 adhérents en 2003. En utilisant une calculatrice, trouver en quelle année l'effectif de ce club sera pour la première fois supérieur à l'effectif de la section judo de l'association étudiée dans les questions précédentes ?

   Notons $C_n$ le nombre d'adhérents du club l'année $2003+n$.

   Chaque année le nombre d'adhérents du club augmente de 10% alors, $C_{n+1}=\mathrm{1,1}\times C_n$.

   La suite $\left(C_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison 1,1. Le terme initial de cette suite est $C_0=405$ donc le nombre d'adhérents de ce club l'année $2003+n$ est :$$C_n=405\times {\mathrm{1,1}}^n$$

   Or le nombre d'adhérents de l'association respectivement inscrits au karaté et au judo l'année $2003+n$ est :$$\left(\begin{array}{cc}{A}_n& B_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}200& 600\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)}^n$$

   Dans le tableau ci-dessous figurent les résultats des calculs des effectifs du club de judo ainsi que ceux des sections de karaté et de judo des adhérents de l'association :

   Année	2003	2004	2005	2006
   Rang n de l'année	0	1	2	3
   Effectif du club de judo (arrondi à l'entier) $$C_n=405\times {\mathrm{1,1}}^n$$	405	446	490	539
   Répartition au sein de l'association des inscrits au karaté et au judo $$\left(\begin{array}{cc}{A}_n& B_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}200& 600\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)}^n$$	$\left(\begin{array}{cc}200& 600\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cc}260& 540\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cc}290& 510\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cc}305& 495\end{array}\right)$

   ---

   C'est en 2006 que l'effectif du club de judo sera pour la première fois supérieur à l'effectif de la section judo de l'association.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.