sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Construire un arbre probabiliste modélisant la situation.

   Par hypothèse, nous avons :

   • La probabilité d'obtenir un expresso est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ d'où $p\left(E\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
   • Si l'on obtient un expresso, la probabilité qu'il soit sucré est ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ d'où $p_E\left(S\right)={\displaystyle \frac{5}{9}}$ et $p_E\left(\overline{S}\right)={\displaystyle \frac{4}{9}}$.
   • Si l'on obtient un chocolat, la probabilité qu'il soit sucré est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ d'où $p_C\left(S\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $p_C\left(\overline{S}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   D'où l' arbre probabiliste modélisant la situation :

2. Calculer la probabilité d'obtenir un expresso sucré.

   $$\begin{array}{lll}p\left(E\cap S\right)& =& p\left(E\right)\times p_E\left(S\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{5}{9}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{18}}\end{array}$$

   La probabilité d'obtenir un expresso sucré est ${\displaystyle \frac{5}{18}}$.

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3. Démontrer que la probabilité d'obtenir un chocolat sucré est ${\displaystyle \frac{1}{18}}$

   Les évènements T, E et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left(S\right)=p\left(T\cap S\right)+p\left(E\cap S\right)+p\left(C\cap S\right)& \iff & p\left(C\cap S\right)=p\left(S\right)-p\left(T\cap S\right)-p\left(E\cap S\right)\\ & \text{Soit}& p\left(C\cap S\right)={\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}-{\displaystyle \frac{5}{18}}={\displaystyle \frac{1}{18}}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité d'obtenir un chocolat sucré est ${\displaystyle \frac{1}{18}}$

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4. En déduire la probabilité d'obtenir un chocolat.

   $$\begin{array}{lll}p\left(C\cap S\right)=p\left(C\right)\times p_C\left(S\right)& \iff & p\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(C\cap S\right)}{p_C\left(S\right)}}\\ & \text{Soit}& p\left(C\right)={\displaystyle \frac{1}{18}}\times {\displaystyle \frac{3}{1}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité d'obtenir un chocolat est ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.

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5. Une personne obtient une boisson sucrée. Quelle est la probabilité que cette boisson soit un thé ?

   $$\begin{array}{lll}{p}_S\left(T\right)={\displaystyle \frac{p\left(T\cap S\right)}{p\left(S\right)}}& \text{Soit}& p_S\left(T\right)={\displaystyle \frac{2}{9}}\times {\displaystyle \frac{9}{5}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\end{array}$$

   Si une personne obtient une boisson sucrée, la probabilité que cette boisson soit un thé est ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

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