Baccalauréat novembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Laurent s'occupe de distribuer le courrier dans les bureaux d'une grande entreprise.
Le graphe ci-dessous représente les différents parcours qu'il peut faire pour distribuer le courrier dans les bureaux A, B, C, D, E, F et G. Le poids de chaque arête indique le nombre d'obstacles (portes, escaliers, machines à café…) qui nuisent à la distribution du courrier.

Laurent se voit confier par le bureau A un colis à livrer au bureau G. Indiquer un parcours qui permette à Laurent de partir du bureau A pour arriver au bureau G en rencontrant le minimum d'obstacles.

Pour déterminer le parours comportant un minimum d'obstacles, pour aller de A à G, on utilise l'algorithme de Dijkstra.

Graphe, algorithme de Dijkstra : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
 A BCDEFGSommet sélectionné
0A (0)
 5 (A)10 (A)6(A)B (5)
  10 (B)10 (A)6 (A)E (6)
  10 (B)9 (E) 11(E)D (9)
  10 (B)  10(D)13(D)C (10)
     10(D)13(D)E (10)
      12 (F)G (12)

Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. GFDEA.

Le parcours qui permette à Laurent de partir du bureau A pour arriver au bureau G en rencontrant le minimum d'obstacles est A-E-D-F-G. (Laurent rencontre 12 obstacles).


partie b

Pris par le temps, il n'est pas rare de voir Laurent oublier de livrer le courrier du matin !
On considère que :

  • Si Laurent a distribué le courrier du matin un certain jour, la probabilité qu'il y pense le lendemain est de 0,7.
  • Si Laurent a oublié de distribuer le courrier du matin un certain jour, la probabilité pour qu'il oublie à nouveau le lendemain est de 0,8.

Le lundi matin 1er octobre, Laurent a bien distribué le courrier. On note an la probabilité que Laurent distribue le courrier le n-ième jour de travail (on considère donc que le lundi 1er octobre est le premier jour et que a1=1).

  1. Traduire les données de cet exercice à l'aide d'un graphe probabiliste. Préciser la matrice de transition associée à ce graphe.

    Notons A l'état : « Laurent a distribué le courrier » et B l'état : « Laurent a oublié de distribuer le courrier ».

    • Si Laurent a distribué le courrier du matin un certain jour, la probabilité qu'il y pense le lendemain est de 0,7. D'où la probabilité d'être dans l'état A le n + 1-ième jour sachant que l'on est dans l'état A le n-ième jour est égale à 0,7. Par conséquent, la probabilité d'être dans l'état B le n + 1-ième jour sachant que l'on est dans l'état A le n-ième jour est égale à 0,3.
    • Si Laurent a oublié de distribuer le courrier du matin un certain jour, la probabilité pour qu'il oublie à nouveau le lendemain est de 0,8. D'où la probabilité d'être dans l'état B le n + 1-ième jour sachant que l'on est dans l'état B le n-ième jour est égale à 0,8. Par conséquent, la probabilité d'être dans l'état A le n + 1-ième jour sachant que l'on est dans l'état B le n-ième jour est égale à 0,2.

    Le graphe probabiliste qui représente la situation est : Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    La matrice de transition associée est M=(0,70,30,20,8)

  2. Démontrer que, pour tout n1, on a : an+1=0,5an+0,2.

    Soit Pn=(anbn) (avec an+bn=1 ) la matrice ligne décrivant l'état probabiliste le n-ième jour. Alors, Pn+1=(anbn)×(0,70,30,20,8)=(0,7an+0,2bn0,3an+0,8bn)

    D'où an+1=0,7an+0,2bn avec an+bn=1. Soit an+1=0,7an+0,2(1-an)=0,5an+0,2

    Ainsi, pour tout n1, on a an+1=0,5an+0,2.


  3. On considère la suite (un) définie, pour tout n1, par un=an-0,4.

    1. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,5. Calculer son premier terme.

      Pour tout n1, un+1=an+1-0,4=(0,5an+0,2)-0,4=0,5an-0,2=0,5(an-0,4)=0,5un

      Ainsi, pour tout entier naturel n1, un+1=0,5un. Donc la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,5.

      Le terme initial de la suite (un) est : u1=a1-0,4=1-0,4=0,6

      La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 0,6.


    2. En déduire, pour tout n1, la valeur de an en fonction de n.

      (un) est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 0,6, alors pour tout entier naturel n1, un=0,6×0,5n-1

      Soit pour tout entier naturel n1, an-0,4=0,6×0,5n-1an=0,6×0,5n-1+0,4

      Ainsi, pour tout entier naturel n1, an=0,6×0,5n-1+0,4.



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