Baccalauréat novembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Laurent s'occupe de distribuer le courrier dans les bureaux d'une grande entreprise.

Le graphe ci-dessous représente les différents parcours qu'il peut faire pour distribuer le courrier dans les bureaux A, B, C, D, E, F et G. Le poids de chaque arête indique le nombre d'obstacles (portes, escaliers, machines à café…) qui nuisent à la distribution du courrier.

Laurent se voit confier par le bureau A un colis à livrer au bureau G. Indiquer un parcours qui permette à Laurent de partir du bureau A pour arriver au bureau G en rencontrant le minimum d'obstacles.

Algorithme de Dijkstra

partie b

Pris par le temps, il n'est pas rare de voir Laurent oublier de livrer le courrier du matin !
On considère que :

Si Laurent a distribué le courrier du matin un certain jour, la probabilité qu'il y pense le lendemain est de 0,7.
Si Laurent a oublié de distribuer le courrier du matin un certain jour, la probabilité pour qu'il oublie à nouveau le lendemain est de 0,8.

Le lundi matin 1^er octobre, Laurent a bien distribué le courrier. On note $a_{n}$ la probabilité que Laurent distribue le courrier le n-ième jour de travail (on considère donc que le lundi 1^er octobre est le premier jour et que $a_{1} = 1$ ).

Traduire les données de cet exercice à l'aide d'un graphe probabiliste. Préciser la matrice de transition associée à ce graphe.
Démontrer que, pour tout $n ⩾ 1$ , on a : $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,2$ .
Soit $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ (avec $a_{n} + b_{n} = 1$ ) la matrice ligne décrivant l'état probabiliste le n-ième jour et M la matrice de transition du graphe probabiliste . Alors, $P_{n + 1} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times M$
On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout $n ⩾ 1$ , par $u_{n} = a_{n} - 0,4$ .
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5. Calculer son premier terme.
  DÉFINITION :
  Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
2. En déduire, pour tout $n ⩾ 1$ , la valeur de $a_{n}$ en fonction de n.

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