sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. On a représenté ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan.

   1. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés.

      Une équation de la droite D d'ajustement affine de y en x, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=135x+460$.

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   2. À l'aide de cet ajustement, estimer la quantité d'aluminium qui sera recyclée en 2008.

      Le rang de l'année 2008 est 11. D'où une estimation de la quantité d'aluminium qui sera recyclée en 2008 : $$135\times 11+460=1945$$

      À l'aide de cet ajustement, 1945 tonnes d'aluminium seront recyclées en 2008.

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2. Un responsable affirme que l'augmentation annuelle moyenne entre 2003 et 2005 a été d'environ 1,8 %.

   1. Justifier ce taux de 1,8 %.

      Soit x le coefficient multiplicateur associé au pourcentage annuel moyen d'augmentation entre 2003 et 2005.
      Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution entre 2003 et 2005 est ${\displaystyle \frac{1400}{1350}}$ . D'où, $$\begin{array}{ccc}{x}^2={\displaystyle \frac{1400}{1350}}& \text{Soit}& x\approx \mathrm{1,018}\end{array}$$

      L'augmentation annuelle moyenne entre 2003 et 2005 a été d'environ 1,8 %.

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   2. En utilisant ce taux, estimer, à une tonne près, la quantité d'aluminium qui sera recyclée en 2008.

      Avec une augmentation annuelle moyenne de 1,8 % la quantité d'aluminium qui sera recyclée en 2008 est $$1400\times {\mathrm{1,018}}^3\approx \mathrm{1476,97}$$

      En 2008, environ 1477 tonnes d'aluminium seront recyclées.

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   3. Avec cette méthode, en quelle année peut-on estimer que plus de 1 600 tonnes d'aluminium seront recyclées ?

      Soit n le rang de l'année 2005 + n. n est le plus petit entier tel que $$\begin{array}{lll}1400\times {\mathrm{1,018}}^n>1600& \iff & {\mathrm{1,018}}^n>{\displaystyle \frac{1600}{1400}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,018}}^n\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{8}{7}}\right)\\ & \iff & n\ln \mathrm{1,018}>\ln \left({\displaystyle \frac{8}{7}}\right)\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln 8-\ln 7}{\ln \mathrm{1,018}}}\end{array}$$

      Or ${\displaystyle \frac{\ln 8-\ln 7}{\ln \mathrm{1,018}}}\approx \mathrm{7,48}$ donc $n=8$

      C'est en 2013 que plus de 1600 tonnes d'aluminium seront recyclées.

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3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   En janvier 2008 sont publiés les résultats de l'année 2007. La quantité d'aluminium recyclé en 2007 est de 1 500 tonnes. Lorsque ce résultat paraît, une réunion des responsables de la collectivité est organisée pour ajuster les prévisions. Lequel des deux modèles précédents semble-t-il le plus adapté ?

   Le rang de l'année 2007 est 10 d'où une estimation de la quantité d'aluminium recyclée en 2007 à l'aide de l'ajustement affine : $$135\times 10+460=1810$$

   Avec une augmentation annuelle de 1,8% une estimation de la quantité d'aluminium recyclée en 2007 est $$1400\times {\mathrm{1,018}}^2\approx \mathrm{1450,85}$$

   Le deuxième modèle étant plus proche de la réalité, il semble plus adapté.

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