sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées; une seule de ces réponses convient.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.

1. La valeur moyenne sur l'intervalle $\left[-1;2\right]$ de la fonction  f définie par $f\left(x\right)=6x^2+3$ est :

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[-1;2\right]$ est par définition : $$\begin{array}{lll}m={\displaystyle \frac{1}{2-\left(-1\right)}}\times {\displaystyle {\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle {\int }_{-1}^2\left(6x^2+3\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{6x^3}{3}}+3x\right]}_{-1}^2}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times \left[\left(2\times 2^3+3\times 2\right)-\left(2\times {\left(-1\right)}^3+3\times \left(-1\right)\right)\right]\\ & =& 9\end{array}$$

   − 8

   0

   9

2. Soit la fonction g définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{2}{x}}\right)$. La limite de la fonction g en $+\infty$ est égale à :

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x}}=0^{+}$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left({\displaystyle \frac{2}{x}}\right)=-\infty$

   $-\infty$

   0

   1

3. L'ensemble des solutions dans $ℝ$ de l'inéquation $\ln \left(3-x\right)⩽0$ est l'intervalle :

   La fonction ln est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ donc l'inéquation $\ln \left(3-x\right)⩽0$ est définie si $3-x>0$ soit pour $x<3$. (C'est une bonne indication pour la réponse exacte)

   $$\begin{array}{lll}\ln \left(3-x\right)⩽0& \iff & \{\begin{array}{rcl}\ln \left(3-x\right)& ⩽& \ln 1\\ x& <& 3\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}3-x& ⩽& 1\\ x& <& 3\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& ⩾& 2\\ x& <& 3\end{array}\end{array}$$

   $\left[3;+\infty \right[$

   $\left[2;3\right[$

   $\left]2;+\infty \right[$

4. Pour tous réels a et b, strictement positifs, $\ln \left(ab\right)-\ln \left(a^2\right)$ est égal à :

   Pour tous réels a et b, strictement positifs, $$\begin{array}{lll}\ln \left(ab\right)-\ln \left(a^2\right)& =& \ln a+\ln b-2\ln a\\ & =& \ln b-\ln a\\ & =& \ln \left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)\end{array}$$

   $\ln \left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)$

   $\ln \left(b-a\right)$

   ${\displaystyle \frac{\ln \left(b\right)}{\ln \left(a\right)}}$

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