sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a : un ajustement affine.

1. Dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 20 adhérents sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_i;y_i\right)$

2. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent (aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis à l'unité).

   Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$y=29x+33$$ (coefficients arrondis à l'unité).

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3. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d'adhérents en 2007.

   Le rang de l'année 2007 est 7. D'où une estimation du nombre d'adhérents en 2007 : $$\begin{array}{ccc}29\times 7+33& =& 236\end{array}$$

   D'après cet ajustement, en 2007 il y aura 236 adhérents.

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partie b : un ajustement exponentiel.

On pose $z=\ln y$.

1. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_i$ au millième.

   $x_i$	1	2	3	4	5	6
   $z_i$	4,248	4,5	4,745	4,942	5,136	5,394

2. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis au millième).

   Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$z=\mathrm{0,224}x+\mathrm{4,044}$$ (coefficients arrondis arrondis au millième).

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3. En déduire une approximation du nombre d'adhérents y en fonction du rang x de l'année.

   Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,224}x+\mathrm{4,044}}$.

   Ainsi, une approximation du nombre d'adhérents y en fonction du rang x de l'année est $y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,224}x+\mathrm{4,044}}$

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   Remarque :$$\begin{array}{lll}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,224}x+\mathrm{4,044}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,044}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,224}x}\\ & \iff & y\approx \mathrm{57,054}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,224}x}\end{array}$$

4. En prenant l'approximation $y\approx \mathrm{57,1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,224}x}$ et en supposant qu'elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d'adhérents en 2007.

   Le rang de l'année 2007 est 7. D'où une estimation du nombre d'adhérents en 2007 : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{57,1}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,224}7}& \approx & 274\end{array}$$

   Avec cet ajustement, en 2007 il y aurait 274 adhérents.

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partie c : comparaison des ajustements.

En 2007, il y a eu 280 adhérents. Lequel des deux ajustements semble le plus pertinent ? Justifier la réponse.

La prévision obtenue avec l'ajustement exponentiel pour l'année 2007 est plus proche du nombre réels d'adhérents.

L'ajustement exponentiel semble le plus pertinent.

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remarque :

La courbe d'équation $y=\mathrm{57,1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,224}x}$ approche mieux chacun des points du nuage.

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