sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. On note A l'état : « le spectateur voit un film français ». On note B l'état : « le spectateur voit un film étranger ».

   1. Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.

      Soient $A_n$ l'évènement : « le spectateur voit un film français à la n^ième séance » et $B_n$ l'évènement : « Le spectateur voit un film étranger à la n^ième séance »

      • La probabilité qu'un spectateur ayant vu un film français à une séance retourne voir un film français à la séance suivante est égale à 0,6 donc $$\begin{array}{cccc}& p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}& \text{et}& p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}\end{array}$$
      • La probabilité qu'un spectateur ayant vu un film étranger à une séance aille voir un film français à la séance suivante est égale à 0,75 donc $$\begin{array}{cccc}& p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,75}& \text{et}& p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}\end{array}$$

      Le graphe probabiliste qui représente la situation est :

   2. On note M la matrice de transition de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. Justifier que $M=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)$.

      La matrice de transition de ce graphe probabiliste à deux états est une matrice 2 × 2 telle que la première ligne décrit les modifications de l'état A d'une étape à la suivante et la deuxième ligne décrit les modifications de l'état B.

      La matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique est $M=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)$.

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2. Soient $A_n$ l'évènement : « le spectateur voit un film français à la n^ième séance » et $B_n$ l'évènement : « Le spectateur voit un film étranger à la n^ième séance ».
   L'état probabiliste de la répartition des abonnés dans les deux salles lors de la n^ième séance est donné par la matrice ligne $T_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ où $a_n=p\left(A_n\right)$, $b_n=p\left(B_n\right)$ et $a_n+b_n=1$. L'état probabiliste initial est donc donné par $T_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$.
   Déterminer les matrices $T_2$ et $T_3$. En donner une interprétation en termes de répartition des abonnés dans les deux salles.

   L'état probabiliste $T_2=T_1\times M$. Soit :$$\begin{array}{lll}{T}_2& =& \left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}1\times \mathrm{0,6}+0\times \mathrm{0,75}& 1\times \mathrm{0,4}+0\times \mathrm{0,25}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\end{array}$$

   $T_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$ , d'où à la deuxième séance, 60% des spectateurs voient un film français et 40% des spectateurs voient un film étranger.

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   L'état probabiliste $T_3=T_2\times M$. Soit :$$\begin{array}{lll}{T}_3& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,6}+\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,75}& \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}+\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,25}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,66}& \mathrm{0,34}\end{array}\right)\end{array}$$

   $T_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,66}& \mathrm{0,34}\end{array}\right)$ , d'où à la troisième séance, 66% des spectateurs voient un film français et 34% des spectateurs voient un film étranger.

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3. Déterminer la valeur arrondie au centième des réels x et y définissant l'état limite $T=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ vers lequel converge la suite $\left(T_n\right)$. Interpréter le résultat.

   La matrice de transition M ne comportant pas de 0 , l'état $T_n$ converge vers un état stable T indépendant de l'état initial.
   T est solution de l'équation : ( voir le théorème )Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
   —  l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
   —  de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$.$$T=T\times M$$

   Soit $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\\ \mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)\end{array}$ avec $x+y=1$

   D'où x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,6}x+\mathrm{0,75}y\\ y& =& \mathrm{0,4}x+\mathrm{0,25}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,75}y& =& 0\\ -\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,75}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,75}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{1,15}x& =& \mathrm{0,75}\\ y& =& 1-x\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,75}}{\mathrm{1,15}}=\frac{15}{23}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{8}{23}}\end{array}\end{array}$$

   L'état stable du système est $T=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,65}& \mathrm{0,35}\end{array}\right)$ (valeurs arrondies au centième). À terme, d'une séance à l'autre, 65% des spectateurs voient un film français et 35% des spectateurs voient un film étranger.

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