sujet : Antilles Guyane

énoncé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe C ci-dessous représente une fonction f définie sur l'ensemble $ℝ$ des nombres réels.
La tangente D à la courbe C au point $A\left(0;-2\right)$ passe par le point $B\left(2;-4\right)$.

On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f.

1. 1. Donner la valeur de $f\left(0\right)$.

   2. Justifier que : $f\prime \left(0\right)=-1$.

2. On admet qu'il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(x+a\right){\mathrm{e}}^{bx}$.

   1. Vérifier que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(bx+ab+1\right){\mathrm{e}}^{bx}$.

   2. Utiliser les résultats précédents pour déterminer les valeurs exactes des réels a et b.

partie b

On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(x-2\right){\mathrm{e}}^x$.

1. Donner l'expression de $f\prime \left(x\right)$ pour tout réel x ; en déduire le sens de variation de la fonction f sur l'ensemble des réels $ℝ$.

2. 1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   2. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ (on rappelle que $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$).
      Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

3. 1. Montrer que la fonction g définie par $g\left(x\right)=\left(x-3\right){\mathrm{e}}^x$ est une primitive de f sur $ℝ$.

   2. Calculer ${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   3. Préciser le signe de f (x)  pour tout x de l'intervalle $\left[2;3\right]$.

      Déterminer la valeur, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisse est les droites d'équation $x=2$ et $x=3$.
      Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dixième.

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