Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe C ci-dessous représente une fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels.
La tangente D à la courbe C au point A(0;-2) passe par le point B(2;-4).
On désigne par f la fonction dérivée de f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Donner la valeur de f(0).

      La courbe C passe par le point A(0;-2) donc f(0)=-2


    2. Justifier que : f(0)=-1.

      Le nombre dérivé f(0) est égal au coefficient directeur de la tangente D à la courbe C au point A(0;-2).
      Or D passe par le point B(2;-4) d'où : f(0)=-4-(-2)2-0=-1

      Ainsi, f(0)=-1.


  1. On admet qu'il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, f(x)=(x+a)ebx.

    1. Vérifier que pour tout réel x, f(x)=(bx+ab+1)ebx.

      Pour tout réel x positif, posons u(x)=x+ad'oùu(x)=1etv(x)=ebxd'oùv(x)=bebx

      Alors, la fonction f=u×v est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et f=uv+uv . D'où f(x)=ebx+b(x+a)ebx=(1+b(x+a))ebx=(bx+ab+1)ebx

      f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(bx+ab+1)ebx


    2. Utiliser les résultats précédents pour déterminer les valeurs exactes des réels a et b.

      • f(0)=-2 alors, a×e0=-2Soita=-2
      • f(0)=-1 et a=-2 alors, (-2b+1)×e0=-1Soitb=1

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(x-2)ex.


partie b

On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=(x-2)ex.

  1. Donner l'expression de f(x) pour tout réel x ; en déduire le sens de variation de la fonction f sur l'ensemble des réels .

    D'après l'étude de la partie A, f(x)=(bx+ab+1)ebx avec a=-2 et b=1 d'où f(x)=(x-2+1)ex=(x-1)ex

    f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(x-1)ex


    Pour tout réel x, ex>0 donc f(x)0(x-1)0x1

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée.

    Sur ]-;1], f(x)0 donc f est décroissante.
    Sur [1;+[, f(x)0 donc f est croissante.


    1. Déterminer limx+f(x).

      limx+x-2=+ et limx+ex=+ alors par produit, limx+(x-2)ex=+

      Ainsi, limx+f(x)=+


    2. Déterminer limx-f(x) (on rappelle que limx-xex=0). Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

      Pour tout réel x, f(x)=xex-2ex.

      limx-xex=0 et limx--2ex=0 alors par somme, limx-xex-2ex=0

      Ainsi, limx-f(x)=0. Par conséquent, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe C en -.


    1. Montrer que la fonction g définie par g(x)=(x-3)ex est une primitive de f sur .

      D'après l'étude de la partie A, g(x)=(bx+ab+1)ebx avec a=-3 et b=1 d'où g(x)=(x-3+1)ex=(x-2)ex

      Pour tout réel x, g(x)=f(x) donc la fonction g est une primitive de la fonction f sur .


    2. Calculer 23f(x)dx.

      23f(x)dx=g(3)-g(2)=(3-3)e3-(2-3)e2=e2

      23f(x)dx=e2.


    3. Préciser le signe de f (x)  pour tout x de l'intervalle [2;3]. Déterminer la valeur, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisse est les droites d'équation x=2 et x=3.
      Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dixième.

      Pour tout réel x, ex>0 donc f(x)0(x-2)0x2

      D'autre part, la fonction f est dérivable sur donc continue sur

      Sur l'intervalle [2;3], la fonction f est continue et f(x)0 donc l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisse est les droites d'équation x=2 et x=3 est égale à 23f(x)dx=e2. Soit arrondie au dixième, 7,4 unités d'aire.



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