sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe C ci-dessous représente une fonction f définie sur l'ensemble $ℝ$ des nombres réels.
La tangente D à la courbe C au point $A\left(0;-2\right)$ passe par le point $B\left(2;-4\right)$.
On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f.

1. 1. Donner la valeur de $f\left(0\right)$.

      La courbe C passe par le point $A\left(0;-2\right)$ donc $f\left(0\right)=-2$

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   2. Justifier que : $f\prime \left(0\right)=-1$.

      Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente D à la courbe C au point $A\left(0;-2\right)$.
      Or D passe par le point $B\left(2;-4\right)$ d'où : $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(0\right)& =& {\displaystyle \frac{-4-\left(-2\right)}{2-0}}& =& -1\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime \left(0\right)=-1$.

      ---

2. On admet qu'il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(x+a\right){\mathrm{e}}^{bx}$.

   1. Vérifier que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(bx+ab+1\right){\mathrm{e}}^{bx}$.

      Pour tout réel x positif, posons $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=x+a& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{bx}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=b{\mathrm{e}}^{bx}\end{array}$$

      Alors, la fonction $f=u\times v$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et $f\prime =u\prime v+uv\prime$ . D'où $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{bx}+b\left(x+a\right){\mathrm{e}}^{bx}\\ & =& \left(1+b\left(x+a\right)\right){\mathrm{e}}^{bx}\\ & =& \left(bx+ab+1\right){\mathrm{e}}^{bx}\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(bx+ab+1\right){\mathrm{e}}^{bx}$

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   2. Utiliser les résultats précédents pour déterminer les valeurs exactes des réels a et b.

      • $f\left(0\right)=-2$ alors, $$\begin{array}{ccc}a\times {\mathrm{e}}^0=-2& \text{Soit}& a=-2\end{array}$$
      • $f\prime \left(0\right)=-1$ et $a=-2$ alors, $$\begin{array}{ccc}\left(-2b+1\right)\times {\mathrm{e}}^0=-1& \text{Soit}& b=1\end{array}$$

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      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(x-2\right){\mathrm{e}}^x$.

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partie b

On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(x-2\right){\mathrm{e}}^x$.

1. Donner l'expression de $f\prime \left(x\right)$ pour tout réel x ; en déduire le sens de variation de la fonction f sur l'ensemble des réels $ℝ$.

   D'après l'étude de la partie A, $f\prime \left(x\right)=\left(bx+ab+1\right){\mathrm{e}}^{bx}$ avec $a=-2$ et $b=1$ d'où $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(x\right)& =& \left(x-2+1\right){\mathrm{e}}^x& =& \left(x-1\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^x$

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   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(x\right)⩽0& \iff & \left(x-1\right)⩽0& \iff & x⩽1\end{array}$$

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée.

   Sur $\left]-\infty ;1\right]$, $f\prime \left(x\right)⩽0$ donc f est décroissante.
   Sur $\left[1;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)⩾0$ donc f est croissante.

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2. 1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }x-2=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$ alors par produit, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-2\right){\mathrm{e}}^x=+\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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   2. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ (on rappelle que $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$). Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

      Pour tout réel x, $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x-2{\mathrm{e}}^x$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }-2{\mathrm{e}}^x=0$ alors par somme, $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x-2{\mathrm{e}}^x=0$

      Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$. Par conséquent, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe C en $-\infty$.

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3. 1. Montrer que la fonction g définie par $g\left(x\right)=\left(x-3\right){\mathrm{e}}^x$ est une primitive de f sur $ℝ$.

      D'après l'étude de la partie A, $g\prime \left(x\right)=\left(bx+ab+1\right){\mathrm{e}}^{bx}$ avec $a=-3$ et $b=1$ d'où $$\begin{array}{ccccc}g\prime \left(x\right)& =& \left(x-3+1\right){\mathrm{e}}^x& =& \left(x-2\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      Pour tout réel x, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction g est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

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   2. Calculer ${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& g\left(3\right)-g\left(2\right)\\ & =& \left(3-3\right){\mathrm{e}}^3-\left(2-3\right){\mathrm{e}}^2\\ & =& {\mathrm{e}}^2\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\mathrm{e}}^2$.

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   3. Préciser le signe de f (x)  pour tout x de l'intervalle $\left[2;3\right]$. Déterminer la valeur, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisse est les droites d'équation $x=2$ et $x=3$.
      Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dixième.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)⩾0& \iff & \left(x-2\right)⩾0& \iff & x⩾2\end{array}$$

      D'autre part, la fonction f est dérivable sur $ℝ$ donc continue sur $ℝ$

      Sur l'intervalle $\left[2;3\right]$, la fonction f est continue et $f\left(x\right)⩾0$ donc l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisse est les droites d'équation $x=2$ et $x=3$ est égale à ${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\mathrm{e}}^2$. Soit arrondie au dixième, 7,4 unités d'aire.

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