Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe C ci-dessous représente une fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels.
La tangente D à la courbe C au point passe par le point .
On désigne par la fonction dérivée de f.
Donner la valeur de .
La courbe C passe par le point donc
Justifier que : .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente D à la courbe C au point .
Or D passe par le point d'où :
Ainsi, .
On admet qu'il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, .
Vérifier que pour tout réel x, .
Pour tout réel x positif, posons
Alors, la fonction est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et . D'où
est la fonction définie pour tout réel x par
Utiliser les résultats précédents pour déterminer les valeurs exactes des réels a et b.
Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par .
On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x par .
Donner l'expression de pour tout réel x ; en déduire le sens de variation de la fonction f sur l'ensemble des réels .
D'après l'étude de la partie A, avec et d'où
est la fonction définie pour tout réel x par
Pour tout réel x, donc
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée.
Sur , donc f est décroissante.
Sur , donc f est croissante.
Déterminer .
et alors par produit,
Ainsi,
Déterminer (on rappelle que ). Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Pour tout réel x, .
et alors par somme,
Ainsi, . Par conséquent, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe C en .
Montrer que la fonction g définie par est une primitive de f sur .
D'après l'étude de la partie A, avec et d'où
Pour tout réel x, donc la fonction g est une primitive de la fonction f sur .
Calculer .
.
Préciser le signe de f (x) pour tout x de l'intervalle . Déterminer la valeur, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisse est les droites d'équation et .
Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dixième.
Pour tout réel x, donc
D'autre part, la fonction f est dérivable sur donc continue sur
Sur l'intervalle , la fonction f est continue et donc l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisse est les droites d'équation et est égale à . Soit arrondie au dixième, 7,4 unités d'aire.
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