Un ciné-club qui projette des films français et étrangers dispose de deux salles. Les abonnés au ciné-club assistent systématiquement à une projection chaque lundi soir.
Un lundi soir, un film français est projeté dans chacune des deux salles. Puis les semaines suivantes, le ciné-club propose dans une salle un film français et dans l'autre un film étranger.
On cherche à étudier l'évolution de la répartition des spectateurs entre les deux salles au cours des semaines suivantes, à partir de ce lundi.
On note A l'état : « le spectateur voit un film français ».
On note B l'état : « le spectateur voit un film étranger ».
Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.
On note M la matrice de transition de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. Justifier que .
Soient l'évènement : « le spectateur voit un film français à la nième séance » et l'évènement : « Le spectateur voit un film étranger à la nième séance ».
L'état probabiliste de la répartition des abonnés dans les deux salles lors de la nième séance est donné par la matrice ligne où , et . L'état probabiliste initial est donc donné par .
Déterminer les matrices et . En donner une interprétation en termes de répartition des abonnés dans les deux salles.
Déterminer la valeur arrondie au centième des réels x et y définissant l'état limite vers lequel converge la suite . Interpréter le résultat.
La matrice de transition M ne comportant pas de 0 , l'état converge vers un état stable T indépendant de l'état initial.
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