Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un ciné-club qui projette des films français et étrangers dispose de deux salles. Les abonnés au ciné-club assistent systématiquement à une projection chaque lundi soir.

Un lundi soir, un film français est projeté dans chacune des deux salles. Puis les semaines suivantes, le ciné-club propose dans une salle un film français et dans l'autre un film étranger.

On cherche à étudier l'évolution de la répartition des spectateurs entre les deux salles au cours des semaines suivantes, à partir de ce lundi.

  1. On note A l'état : « le spectateur voit un film français ».
    On note B l'état : « le spectateur voit un film étranger ».

    1. Représenter la situation ci-dessus par un graphe probabiliste.

    2. On note M la matrice de transition de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique. Justifier que M=(0,60,40,750,25).

  2. Soient An l'évènement : « le spectateur voit un film français à la nième séance » et Bn l'évènement : « Le spectateur voit un film étranger à la nième séance ».
    L'état probabiliste de la répartition des abonnés dans les deux salles lors de la nième séance est donné par la matrice ligne Tn=(anbn)an=p(An), bn=p(Bn) et an+bn=1. L'état probabiliste initial est donc donné par T1=(10).
    Déterminer les matrices T2 et T3. En donner une interprétation en termes de répartition des abonnés dans les deux salles.

  3. Déterminer la valeur arrondie au centième des réels x et y définissant l'état limite T=(xy) vers lequel converge la suite (Tn). Interpréter le résultat.

    La matrice de transition M ne comportant pas de 0 , l'état Tn converge vers un état stable T indépendant de l'état initial.P=T×Mavecx+y=1


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