Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une ville ne dispose que d'un cinéma de quartier dans le centre et d'un cinéma multiplexe en périphérie. Des films français et des films étrangers sont projetés dans les deux cinémas.

On sait que, parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville :

75% préfèrent le cinéma multiplexe.
60% des personnes qui préfèrent le cinéma de quartier vont voir de préférence les films français.

On choisit au hasard un spectateur parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville.
On note respectivement M, Q, F et E les événements suivants :

M : « le spectateur préfère le cinéma multiplexe » ;
Q : « le spectateur préfère le cinéma de quartier » ;
F : « le spectateur préfère les films français » ;
E : « le spectateur préfère les films étrangers ».

Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au centième. On pourra utiliser un arbre de probabilité ou un tableau.

Montrer que la probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma de quartier et préfère les films étrangers est 0 ,1.
La probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma de quartier et préfère les films étrangers est égale à $p (Q \cap E)$ .
Or parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma :
- 75% préfèrent le cinéma multiplexe donc : $\begin{matrix} p (M) = 0,75 & et & p (Q) = 1 - p (M) = 0,25 \end{matrix}$
- 60% des personnes qui préfèrent le cinéma de quartier vont voir de préférence les films français donc : $\begin{matrix} p_{Q} (F) = 0,6 & et & p_{Q} (E) = 1 - p_{Q} (F) = 0,4 \end{matrix}$
Ainsi, la probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma de quartier et préfère les films étrangers est : $\begin{array}{l} p (Q \cap E) & = & p_{Q} (E) \times p (Q) \\ = & 0,4 \times 0,25 \\ = & 0,1 \end{array}$
La probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma de quartier et préfère les films étrangers est 0 ,1.
70% des personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville préfèrent les films étrangers.
Quelle est la probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma multiplexe et préfère les films étrangers ?
70% des personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville préfèrent les films étrangers donc $p (E) = 0,7$
Les évènements M et Q sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{array}{l} p (E) = p (M \cap E) + p (Q \cap E) & \Leftrightarrow & p (M \cap E) = p (E) - p (Q \cap E) \\ Soit & p (M \cap E) = 0,7 - 0,1 = 0,7 \end{array}$
La probabilité que le spectateur choisi préfère le cinéma multiplexe et préfère les films étrangers est 0,6.
Le spectateur choisi préfère les films étrangers. Quelle est la probabilité qu'il préfère le cinéma de quartier ?
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement Q sachant que l'évènement E est réalisé. $\begin{array}{l} p_{E} (Q) & = & \frac{p (Q \cap E)}{p (E)} \\ = & \frac{0,1}{0,7} = \frac{1}{7} \end{array}$
Arrondie au centième, la probabilité qu'un spectateur préférant les films étrangers préfère le cinéma de quartier est 0,14.
On choisit au hasard et de façon indépendante trois spectateurs parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma dans cette ville. Quelle est la probabilité qu'au moins un d'entre eux préfère les films étrangers?
Choisir au hasard et de façon indépendante trois spectateurs parmi les personnes qui vont régulièrement au cinéma est la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de spectateurs qui préfèrent les films étrangers est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,7.
L'évènement A "au moins l'un des trois préfère les films étrangers" est l'évènement contraire de l'évènement B "les trois spectateurs préfèrent les films français" $\begin{matrix} p (B) = {0,3}^{3} & donc & p (A) = 1 - {0,3}^{3} = 0,973 \end{matrix}$
La probabilité qu'au moins un des trois spectateurs préfère les films étrangers est égale à 0,973.

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