Baccalauréat septembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Une boîte de chocolats contient 50 % de chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et 20 % de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d'emballage identique. Ils sont garnis soit de praliné soit de caramel et, parmi les chocolats au lait, 56 % sont garnis de praliné. On choisit au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les choix sont équiprobables.
On note :

  • L : l'évènement « le chocolat choisi est au lait » ;
  • N : l'évènement « le chocolat choisi est noir » ;
  • B : l'évènement « le chocolat choisi est blanc » ;
  • A : l'évènement « le chocolat choisi est garni de praliné » ;
  • A¯ : l'évènement « le chocolat choisi est garni de caramel ».

Tous les résultats seront donnés sous forme décimale.

  1. Traduire les données du problème à l'aide d'un arbre de probabilité.

    • Une boîte de chocolats contient 50 % de chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et 20 % de chocolats blancs d'où p(L)=0,5, p(N)=0,3 et p(B)=0,2
    • Parmi les chocolats au lait, 56 % sont garnis de praliné d'où pL(A)=0,56 et pL(A¯)=1-pL(A)=0,44

    D'où l'arbre de probabilité traduisant les données de l'énoncé :

    Arbre de probabilité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Donner la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat au lait.

    Parmi les chocolats au lait, 56 % sont garnis de praliné d'où pL(A)=0,56


  3. Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné.

    p(LA)=pL(A)×p(L)=0,56×0,5=0,28

    La probabilité que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné est égale à 0,28.


  4. Dans la boîte, 21 % des chocolats sont noirs et garnis de praliné.
    Montrer que la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c'est un chocolat noir, est égale à 0,7.

    pN(A)=p(NA)p(N)=0,210,3=0,7

    Ainsi, la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c'est un chocolat noir, est égale à 0,7


  5. Dans la boîte, 60 % des chocolats sont garnis de praliné.

    1. Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné.

      Dans la boîte, 60 % des chocolats sont garnis de praliné d'où p(A)=0,6.

      Les évènements L, N et B déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(A)=p(LA)+p(NA)+p(BA)p(BA)=p(A)-p(LA)-p(NA)Soitp(BA)=0,6-0,28-0,21=0,11

      La probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné est égale à 0,11


    2. En déduire la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat blanc

      pB(A)=p(BA)p(B)=0,110,2=0,55

      La probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c'est un chocolat blanc, est égale à 0,55.


  6. On dispose de deux boîtes de chocolats identiques à celle décrite précédemment. Une personne prend au hasard un chocolat dans la première boîte, puis un chocolat dans la deuxième boîte (les tirages sont indépendants).
    Déterminer la probabilité de l'évènement : « l'un des chocolats choisi est garni de praliné et l'autre est garni de caramel ».

    La probabilité de choisir un chocolat garni de caramel est p(A¯)=1-p(A)=0,4

    Les tirages étant indépendants, il s'agit de la répétition de deux épreuves de Bernoulli indépendantes

    Il n'y a que deux issues AA¯ ou A¯A qui correspondent à l'évènement E : « l'un des chocolats choisi est garni de praliné et l'autre est garni de caramel » d'où p(E)=2×0,6×0,4=0,48

    La probabilité de l'évènement : « l'un des chocolats choisi est garni de praliné et l'autre est garni de caramel », est égale à 0,48.



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