sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit la fonction f définie sur l'ensemble $ℝ$ des nombres réels par $f\left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x$.
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (figure ci-dessous).

partie a

1. Calculer la limite de f en $-\infty$ (on rappelle que $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$). Interpréter graphiquement le résultat.

   Pour tout réel x, $$\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^x$$

   Or $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$ donc par somme, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^x=0$.

   Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote l'axe des abscisses en $-\infty$.

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2. Calculer la limite de f en $+\infty$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }1-x=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$ donc par produit, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x=-\infty$.

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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3. Déterminer le signe de $f\left(x\right)$ selon les valeurs du réel x.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ . Par conséquent, $f\left(x\right)$ est du même signe que $1-x$.

   D'où le tableau établissant le signe de $f\left(x\right)$ selon les valeurs du réel x :

   x	$-\infty$		1		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

partie b

Soit F la fonction définie pour tout réel x par $F\left(x\right)=\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^x$.

1. Démontrer que F est une primitive de f sur $ℝ$.

   Dire que F est une primitive sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ de la fonction f signifie que pour tout réel x appartennant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=-x+2& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^x+\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& -{\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(1-x\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f.

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2. On appelle A l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=0$.

   1. Justifier l'égalité : $A={\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      La fonction f est continue et positive sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$ alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire : Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=0$.

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   2. À l'aide du graphique ci-dessus, justifier que : $0<{\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<1$

      Sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$ , la courbe C est située au dessus de l'axe des abscisses et sous la droite d'équation $y=1$. Donc l'aire A de la partie hachurée du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=0$ est un nombre positif, inférieur à l'aire du carré de côté 1.

      Ainsi, $0<{\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<1$.

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   3. Déterminer, en unités d'aire, la valeur exacte de A puis sa valeur décimale arrondie au centième.

      $$\begin{array}{lllllll}{\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(0\right)-F\left(-1\right)& =& 2-3{\mathrm{e}}^{-1}& \approx & \mathrm{0,896}\end{array}$$

      $A=2-3{\mathrm{e}}^{-1}$ . D'où une valeur arrondie au centième égale à 0,9 unités d'aire.

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