Baccalauréat septembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une association caritative a constaté que, chaque année, 20% des donateurs de l'année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l'évolution du nombre de donateurs au fil des années. Lors de la première année de l'étude, l'association comptait 1 000 donateurs.
On note un le nombre de donateurs lors de la n-ième année ; on a donc u1=1000.

  1. Calculer u2 et u3.

  2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : un+1=0,8×un+300.

  3. Dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm pour 100 (on prendra l'origine du repère en bas à gauche de la feuille), représenter les droites d'équation y=x et y=0,8x+300.

    À l'aide d'une construction graphique, émettre une conjecture sur le comportement de la suite (un) quand n tend vers l'infini.

  4. Afin de démontrer cette conjecture, on introduit la suite (vn) définie pour tout entier naturel non nul n, par vn=1500-un.

    1. Montrer que (vn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

      définition :

      Dire qu'une suite (un)n est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1=q×un.

    2. Calculer la limite de (vn) ; en déduire la limite de (un).

      Si (vn) est une suite géométrique de raison q, alors, vn=v0×qn.

      Que peut-on en déduire pour l'évolution du nombre de donateurs de l'association ?


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