Baccalauréat septembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une association caritative a constaté que, chaque année, 20% des donateurs de l'année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l'évolution du nombre de donateurs au fil des années. Lors de la première année de l'étude, l'association comptait 1 000 donateurs. On note $u_{n}$ le nombre de donateurs lors de la n-ième année ; on a donc $u_{1} = 1000$ .

Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$ .
Chaque année, 80% des donateurs de l'année précédente renouvellent leur don donc
$\begin{array}{l} u_{2} = 0,8 \times u_{1} + 300 & Soit & u_{2} = 0,8 \times 1000 + 300 = 1100 \\ u_{3} = 0,8 \times u_{2} + 300 & Soit & u_{3} = 0,8 \times 1100 + 300 = 1180 \end{array}$
$u_{2} = 1100$ et $u_{3} = 1180$
Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : $u_{n + 1} = 0,8 \times u_{n} + 300$ .
Chaque année, 80% des donateurs de l'année précédente renouvellent leur don et 300 nouveaux donateurs effectuent un don donc
Pour tout entier naturel n non nul, on a : $u_{n + 1} = 0,8 \times u_{n} + 300$ .
Dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm pour 100 (on prendra l'origine du repère en bas à gauche de la feuille), représenter les droites d'équation $y = x$ et $y = 0,8 x + 300$ .
À l'aide d'une construction graphique, émettre une conjecture sur le comportement de la suite $(u_{n})$ quand n tend vers l'infini.
Si la suite $(u_{n})$ converge vers une limite $𝓁$ quand n tend vers l'infini alors $𝓁$ est solution de l'équation : $\begin{matrix} 𝓁 = 0,8 \times 𝓁 + 300 & \Leftrightarrow & 𝓁 = 1500 \end{matrix}$
Graphiquement, la suite $(u_{n})$ semble converger vers 1500, abscisse du point d'intersection des droites d'équation $y = x$ et $y = 0,8 x + 300$ .
Afin de démontrer cette conjecture, on introduit la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier C n, par $v_{n} = 1500 - u_{n}$ .
1. Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  Pour tout entier naturel non nul n : $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & 1500 - u_{n + 1} \\ = & 1500 - (0,8 u_{n} + 300) \\ = & 1200 - 0,8 u_{n} \\ = & 0,8 (1500 - u_{n}) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel non nul n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ . Donc la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8.
  Le terme initial de la suite $(v_{n})$ est : $\begin{matrix} v_{1} = 1500 - u_{1} & Soit & v_{1} = 1500 - 1000 = 500 \end{matrix}$
  La suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 500.
2. Calculer la limite de $(v_{n})$ ; en déduire la limite de $(u_{n})$ .
  Que peut-on en déduire pour l'évolution du nombre de donateurs de l'association ?
  - $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{1} = 500$ , alors pour tout entier naturel non nul n, $v_{n} = 500 \times {0,8}^{n - 1} = 625 \times {0,85}^{n}$ .
    Étudions la limite en $+ \infty$ de la fonction f définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = 625 \times {0,8}^{x}$
    $0,8 < 1$ donc $\lim_{x \to + \infty} {0,8}^{x} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} 625 \times {0,85}^{x} = 0$
    Ainsi, la suite $(v_{n})$ converge vers 0 quand n tend vers l'infini.
  - Pour tout entier naturel non nul n, $\begin{matrix} v_{n} = 1500 - u_{n} & \Leftrightarrow & u_{n} = 1500 - v_{n} \end{matrix}$
    Or $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ donc $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1500$ .
    D'autre part, la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 donc $(v_{n})$ est une suite décroissante. Par conséquent, la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel non nul n, par $u_{n} = 1500 - v_{n}$ est croissante.
  $(u_{n})$ est une suite croissante et $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1500$ alors, le nombre de donateurs de l'association ne dépassera pas 1500.

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