sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a : un ajustement affine

1. 1. Tracer le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ d'unités graphiques 1 cm pour 5 années sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 200 milliers d'exploitations sur l'axe des ordonnées ; (on placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille).

   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le graphique.

      Les coordonnées du point moyen $G\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ sont :$$\begin{array}{ccc}\overline{x}={\displaystyle \frac{0+15+33+45+50}{5}}=\mathrm{28,6}& \text{et}& \overline{y}={\displaystyle \frac{2280+1588+1017+664+545}{5}}=\mathrm{1218,8}\end{array}$$

      Le point moyen a pour coordonnées $G\left(\mathrm{28,6};\mathrm{1218,8}\right)$.

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2. 1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement D de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à l'unité).

      Une équation de la droite d'ajustement D de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=-34x+2196$ (coefficients arrondis à l'unité)

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   2. Tracer la droite D sur le graphique.

3. Calculer le nombre d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir pour 2008 en utilisant cet ajustement (le résultat sera arrondi au millier).

   Le rang de l'année 2008 est 53. D'où une estimation du nombre de milliers d'exploitations agricoles :$$-34\times 53+2196=394$$

   Le nombre d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir pour 2008 est de 394 000.

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partie b : une autre estimation

1. Déterminer le pourcentage de diminution du nombre d'exploitations agricoles entre 2000 et 2005 (le résultat sera arrondi au dixième).

   Le taux du pourcentage de diminution du nombre d'exploitations agricoles entre 2000 et 2005 est : $${\displaystyle \frac{664-545}{664}}\times 100\approx \mathrm{17,9}$$

   Entre 2000 et 2005 le nombre d'exploitations agricoles a diminué d'environ 17,9%.

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2. On suppose qu'entre 2000 et 2005, le pourcentage annuel de diminution du nombre d'exploitations agricoles est constant. Vérifier que ce pourcentage est environ de 3,87 %.

   Soit x le coefficient multiplicateur associé au pourcentage annuel moyen de diminution du nombre d'exploitations agricoles entre 2000 et 2005. x est solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}{x}^5=1-{\displaystyle \frac{\mathrm{17,9}}{100}}& \iff & x={\mathrm{0,821}}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}\\ & \text{Soit}& x\approx \mathrm{0,9613}\end{array}$$

   Soit un taux de diminution de $\left(1-\mathrm{0,9613}\right)\times 100=\mathrm{3,87}$

   Entre 2000 et 2005, nombre d'exploitations agricoles a diminué en moyenne de 3,87 % chaque année.

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3. On suppose que le pourcentage annuel de diminution reste constant et est égal à 3,87 % entre 2005 et 2008. Quel est le nombre d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir en 2008 (le résultat sera arrondi au millier) ?

   Le nombre de milliers d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir en 2008 est $$545\times {\mathrm{0,9613}}^3\approx \mathrm{484,1}$$

   Avec un pourcentage annuel de diminution de 3,87 % entre 2005 et 2008, on peut prévoir en 2008 environ 484 000 exploitations agricoles.

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