Soit f la fonction définie sur l'intervalle par . On appelle C la courbe ci-dessous représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Déterminer la limite de f en 0. Quelle interprétation graphique peut-on en donner ?
, et alors par somme,
Ainsi, alors l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C.
Montrer que pour tout x de l'intervalle , .
f est dérivable comme somme de fonctions dérivables et pour tout x de l'intervalle ,
Ainsi, pour tout x de l'intervalle , .
Déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle et dresser son tableau de variations.
Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée .
. Or pour tout réel x de l'intervalle , , donc le signe de est le même que celui du polynôme du second degré sur l'intervalle .
Étudions du signe du polynôme du second degré avec , et
soit , le polynôme admet deux racines :
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de ainsi que les variations de f sur l'intervalle
x | 0 | 5 | 20 | |||
− | + | |||||
On admet que l'équation possède exactement deux solutions α et β dans l'intervalle telles que et .
Une entreprise produit au maximum 20 000 objets par jour. On note x le nombre de milliers d'objets produits chaque jour travaillé : . On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un objet est égal à , où f est la fonction définie ci-dessus.
Pour combien d'objets produits le coût moyen de fabrication est-il minimal ?
D'après le tableau des variations, le minimum de la fonction f est atteint pour
Le coût moyen de fabrication est donc minimal pour une production de 5000 objets.
Déterminer ce coût moyen minimal, arrondi au centime.
Le coût moyen minimal de fabrication est 4,22 €.
Le prix de vente d'un objet est de 6 €. Pour quelles productions journalières l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
L'entreprise réalise un bénéfice quand le coût moyen de fabrication est inférieur au prix de vente d'un objet.
Par hypothèse, l'équation possède exactement deux solutions α et β dans l'intervalle telles que et .
Sur l'intervalle , la fonction f est strictement décroissante donc si alors,
Sur l'intervalle , la fonction f est strictement croissante donc si alors,
L'entreprise réalise donc un bénéfice pour une production x appartenant à l'intervalle . D'autre part, et donc
L'entreprise réalise un bénéfice pour toute production comprise entre 1 243 et 13 311 objets par jour.
Déterminer le bénéfice journalier, arrondi à la centaine d'euros, pour une production de 5 000 objets par jour.
Le montant du bénéfice pour une production de 5 000 objets par jour est :
En admettant, que toute la production est vendue, le bénéfice journalier de l'entreprise est de 8900 €.
L'année suivante, le coût moyen augmente de 2%. Le prix de vente est alors augmenté de 2%. Le bénéfice journalier reste-t-il identique ? Justifier.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2% est 1,02.
La fonction g définie sur l'intervalle par a les mêmes variations que la fonction f. En particulier, le minimum de la fonction g est atteint pour et
Le montant du bénéfice pour une production de 5 000 objets par jour est alors :
En admettant, que toute la production est vendue, le bénéfice journalier de l'entreprise augmente de 2%.
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