Baccalauréat septembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;20] par f(x)=12x+4+34ln(4x+10)-3lnx. On appelle C la courbe ci-dessous représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Déterminer la limite de f en 0. Quelle interprétation graphique peut-on en donner ?

    limx012x=0, limx0ln(4x+10)=ln10 et limx0lnx=- alors par somme, limx012x+4+34ln(4x+10)-3lnx=+

    Ainsi, limx0f(x)=+ alors l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C.


  2. Montrer que pour tout x de l'intervalle ]0;20], f(x)=x2-2x-15x(2x+5).

    f est dérivable comme somme de fonctions dérivables et pour tout x de l'intervalle ]0;20], f(x)=12+34×44x+10-3×1x=x(2x+5)+3x-3(4x+10)x(4x+10)=2x2+5x+3x-12x-30x(4x+10)=2x2-4x-30x(4x+10)=2x2-4x-30x(4x+10)

    Ainsi, pour tout x de l'intervalle ]0;20], f(x)=x2-2x-15x(2x+5).


  3. Déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;20] et dresser son tableau de variations.

    Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée f.

    f(x)=x2-2x-15x(2x+5). Or pour tout réel x de l'intervalle ]0;20], x(2x+5)>0, donc le signe de f(x) est le même que celui du polynôme du second degré x2-2x-15 sur l'intervalle ]0;20].

    Étudions du signe du polynôme du second degré x2-2x-15 avec a=1, b=-2 et c=-15

    Δ=b2-4ac soit Δ=4-4×1×(-15)=64 , le polynôme admet deux racines : x1=-b-Δ2aetx2=-b+Δ2aSoitx1=2-82=-3etx2=2+82=5

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de f ainsi que les variations de f sur l'intervalle ]0;20]

    x0  5 20
    f(x)  0||+ 
    f(x) 

    +

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    f(5)

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    f(20)


On admet que l'équation f(x)=6 possède exactement deux solutions α et β dans l'intervalle ]0;20] telles que α1,242 et β13,311.

partie b

Une entreprise produit au maximum 20 000 objets par jour. On note x le nombre de milliers d'objets produits chaque jour travaillé : x]0;20]. On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un objet est égal à f(x), où f est la fonction définie ci-dessus.

    1. Pour combien d'objets produits le coût moyen de fabrication est-il minimal ?

      D'après le tableau des variations, le minimum de la fonction f est atteint pour x=5

      Le coût moyen de fabrication est donc minimal pour une production de 5000 objets.


    2. Déterminer ce coût moyen minimal, arrondi au centime.

      f(5)=12×5+4+34ln(4×5+10)-3ln5=132+34ln30-3ln54,22

      Le coût moyen minimal de fabrication est 4,22 €.


  1. Le prix de vente d'un objet est de 6 €. Pour quelles productions journalières l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?

    L'entreprise réalise un bénéfice quand le coût moyen de fabrication est inférieur au prix de vente d'un objet.

    Par hypothèse, l'équation f(x)=6 possède exactement deux solutions α et β dans l'intervalle ]0;20] telles que α1,242 et β13,311.

    • Sur l'intervalle ]0;5], la fonction f est strictement décroissante donc si α<x5 alors, f(x)<6

    • Sur l'intervalle [5;20], la fonction f est strictement croissante donc si 5x<β alors, f(x)<6

    L'entreprise réalise donc un bénéfice pour une production x appartenant à l'intervalle ]αβ[ . D'autre part, f(1,242)>6 et f(13,311)<6 donc

    L'entreprise réalise un bénéfice pour toute production comprise entre 1 243 et 13 311 objets par jour.


  2. Déterminer le bénéfice journalier, arrondi à la centaine d'euros, pour une production de 5 000 objets par jour.

    Le montant du bénéfice pour une production de 5 000 objets par jour est : 5000×(6-4,22)=8900

    En admettant, que toute la production est vendue, le bénéfice journalier de l'entreprise est de 8900 €.


  3. L'année suivante, le coût moyen augmente de 2%. Le prix de vente est alors augmenté de 2%. Le bénéfice journalier reste-t-il identique ? Justifier.
    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

    Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2% est 1,02.

    La fonction g définie sur l'intervalle ]0;20] par g(x)=1,02f(x) a les mêmes variations que la fonction f. En particulier, le minimum de la fonction g est atteint pour x=5 et g(5)=1,02f(5)

    Le montant du bénéfice pour une production de 5 000 objets par jour est alors : 5000×(1,02×6-1,02×4,22)=5000×1,02×(6-4,22)=1,02×8900

    En admettant, que toute la production est vendue, le bénéfice journalier de l'entreprise augmente de 2%.



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